История развития тригонометрии

      Окончательный результат следует не забыть поделить на , которое написано как общий делить перед всей суммой.

 

Ответ: 150

      7. Найдите ,  если  .      

Решение: воспользуемся соотношениями  .

Тогда получим: 

Ответ:

      8. Докажите, что если α, β, γ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1 

Решение: преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и применяя формулы: cos2x = (1 + cos2x)/2, cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = (2cos((x + y)/2))cos((x - y)/2), получим справедливое тождество.

      9. Вычислить значение выражения:

Решение: используя формулы приведения, получим:

Ответ: 0 

3.2 Тригонометрические  уравнения

      1. Решите уравнение:  sinx - cosx + sin2x + 1 = 0

Решение:

Пусть

тогда

Уравнение примет вид:

или

(1) не  имеет решений, т.к. 

(2)

Ответ:

      2. Решить уравнение:  

  3. Сколько корней имеет уравнение ? 

Решение: Для решения задачи сначала произведем замену t = 3x. Уравнение примет вид . Его количество корней совпадает с количеством корней исходного уравнения, поэтому остановимся на поиске количества корней нового уравнения. Нарисуем графики функций y = sin t и в одной системе координат.

     График  функции  проходит через точки A( ; -1) и B( ; 1). Корни уравнения соответствуют точкам пересечения графиков функций. Из рисунка видно, что пересечения следует искать только на отрезке [ ; ].  Подсчет количества точек пересечения дает ответ: 19. 

Ответ: 19

 

      4. Найдите, при каких значениях острого угла уравнение

(2cos -1) - 4x + 4cos + 2 = 0 будет иметь два действительных положительных корня?

Решение: Раз корни этого уравнения положительны, положительной будет и их сумма, которая по теореме Виета равняется:

Дискриминант  должен быть положительным, значит

 D=16-8(2 cos -1)(2 cos +1)=16-8(4 cos2 -1)=24-32 cos2 >0

Отсюда

Таким образом получаем

Ответ:

      5. Решить уравнение

Решение: С учетом известной формулы исходное уравнение можно преобразовать к виду . Область допустимых значений левой части полученного уравнения имеет вид : . Кроме этого необходимо учесть тот факт, что значения левой части уравнения (функции ) лежат в интервале , т.е. являются неотрицательными. Поэтому и значения правой части должны быть неотрицательными, что дает дополнительные условие . Окончательно: x . Далее для решения уравнения обозначим и применим к обеим частям уравнения функцию косинус:

.

Восстанавливая  обозначения  , получим:

Решая последнее уравнение, получим множество  его корней . Первые два корня являются посторонними.

Ответ:

6.Решить уравнение при всех доступных значениях параметра b

  . В ответ записать только решения уравнения ( без указания соответствующих значений параметра)

Решение:

Установим ОДЗ правой части уравнения  и выделим в правой части полный квадрат

Откуда  видно, что правая часть уравнения  не меньше 8.Левая часть уравнения  не превосходит 9, т.к. косинус не превосходит 1 по модулю. Причем равенство двух частей достигается при условии b=4 и   

{

Решая последнюю систему при b=4 получаем и . Выразим из этих условий x, получим

Сист.

Теперь  найдем зависимость между k и n:

Заметим, что при n=0 и n=-1 , а x=6

Ответ: -2,6

     7. Решить уравнение  .  

Решение: оскольку , , то левая часть не превосходит и равна , если

     Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

     Начнем  со второго: , . Тогда , .

     Понятно, что лишь для четных будет .

     Ответ: .

     8. Решить уравнение .  

     Решение: рассмотрим уравнение на трех промежутках.

     а) Пусть  . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению . Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , , а . На промежутке исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. , а .

     б) Пусть  . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

     

корнями которого на промежутке являются числа , , , .

     в) Пусть  . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

           

Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , а . На промежутке уравнение так же решений не имеет, т. к. , , а .

     Ответ. , , , .

     9. Найти корни уравнения: .  

     Решение этого уравнения распадается  на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию . При этом заботится об условии нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый  шаг нас приводит к уравнению  , откуда .

Теперь  надо определить, при каких  будет . Для этого достаточно для рассмотреть значения , , , т. е. поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .

     Ответ. , . 

     3.3. Тригонометрические неравенства 

     1. Определим все , при каждом их которых неравенство 

      (1) имеет хотя бы одно решение.

     Решение. Разделим неравенство (1) на число , получим неравенство

      (2) равносильное неравенству (1).

     Так как , то существует такой угол , что и . Перепишем неравенство (2) в виде . 

     Последнее неравенство, а значит, и неравенство (1), имеет хотя бы одно решение при каждом таком, что , то есть при каждом .

     Ответ: .

      2. Решить неравенство sin 2x−3sin x−3cos x+3<0 (1)

Решение: используя замену неизвестного t=sin x+cos x , перепишем неравенство в виде . Все решения неравенства есть все t из промежутка (1,2), следовательно, множество решений неравенства (1) совпадает с множеством решений двойного неравенства 1<sin x+cos x<2 (2)

Используя введение вспомогательного угла, перепишем  это неравенство в виде .    Неравенство справедливо для любого x ,а все решения неравенства задаются условиями , n , откуда найдем все решения неравенства (2).

,n .

Итак, решения  неравенства (1) составляют серии интервалов (2 ),n .

Ответ: (2 ),n  

     3.4 Прикладные задачи с использованием тригонометрии

     1.Некоторое количество прямых изобразили на бумаге так, что между ними есть углы величиной 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°. Найдите наименьшее количество прямых, для которых такое возможно. 

Решение: Заметим, что среди прямых, две обязательно должны быть перпендикулярны. Если две перпендикулярные прямые пересечь ещё двумя, острых углов может получиться не более пяти, как в случае, когда ни одна из этих двух прямых не проходит через точку пересечения перпендикулярных (на рисунке), так и в других случаях.

Имея  же 5 прямых, мы можем построить требуемую  конструкцию:

Ответ: 5

      2. В трапеции ABCD длина основания AD равна , а длина основания BC равна . Угол A = 15°, угол D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB. 

 Условие задачи изображено на рисунке:

Проведем  BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD Решение: параллелограмм и KD = BC = . AD – секущая параллельных прямых BK и CD, следовательно  AKB =  ADC = 30°. Далее найдем длину отрезка AK = AD – KD =  .

      Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ABK = 180° –  AKB –  BKA = 180° – 30° – 15° = 135°. И sin 135° =  . Теперь можно найти AB, оно получается равным 1.

      Ответ: 1