Случайные величины и их распределения

,

где Х – случайная величина с распределением Ф(Х), причем m = M(Y),  = D(Y). Нормальное распределение с параметрами сдвига m и масштаба  обычно обозначается N(m, ) (иногда используется обозначение N(m, )).          

 Как следует из (8), плотность  вероятности нормального распределения N(m, ) есть

         

 Нормальные распределения  образуют масштабно-сдвиговое семейство.  При этом параметром масштаба  является d = 1/ , а параметром сдвига c = - m/ .         

 Для центральных моментов  третьего и четвертого порядка  нормального распределения справедливы  равенства

Эти равенства лежат в  основе классических методов проверки того, что результаты наблюдений подчиняются  нормальному распределению. В настоящее  время нормальность обычно рекомендуется  проверять по критерию W Шапиро – Уилка. Проблема проверки нормальности обсуждается ниже.         

 Если случайные величины Х₁ и Х₂ имеют функции распределения N(m₁, ₁) и N(m₂, ₂) соответственно, то Х₁ + Х₂ имеет распределение  Следовательно, если случайные величины X₁, X₂,…, X_n независимы и имеют одно и тоже распределение N(m, ), то их среднее арифметическое

имеет распределение N(m, ). Эти свойства нормального распределения постоянно используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений, в частности, при статистическом регулировании технологических процессов и в статистическом приемочном контроле по количественному признаку.          

 С помощью нормального  распределения определяются три  распределения, которые в настоящее  время часто используются при  статистической обработке данных.          

 Распределение   (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X₁, X₂,…, X_n независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, т.е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.          

 Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N(0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента. Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета - Стьюдента показывает, что еще сто лет менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.          

 Распределение Фишера  – это распределение случайной  величины 

где случайные величины Х₁ и Х₂ независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы k₁ и k₂ соответственно. При этом пара (k₁, k₂) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, k₁ – число степеней свободы числителя, а k₂ – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины F названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.          

 Выражения для функций  распределения хи - квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик,  а также таблицы можно найти в специальной литературе (см., например, [8]).         

 Как уже отмечалось, нормальные распределения в настоящее  время часто используют в вероятностных  моделях в различных прикладных  областях. В чем причина такой  широкой распространенности этого  двухпараметрического семейства  распределений? Она проясняется  следующей теоремой.          

 Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых). Пусть X₁, X₂,…, X_n,… - независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(X₁), М(X₂),…, М(X_n), … и дисперсиями D(X₁), D(X₂),…, D(X_n), … соответственно. Пусть

Тогда при справедливости некоторых условий, обеспечивающих малость вклада любого из слагаемых  в U_n,

для любого х.         

 Условия, о которых  идет речь, не будем здесь формулировать.  Их можно найти в специальной  литературе (см., например, [6]). «Выяснение  условий, при которых действует  ЦПТ, составляет заслугу выдающихся  русских ученых А.А.Маркова (1857-1922) и, в особенности, А.М.Ляпунова (1857-1918)» [9, с.197].           

 Центральная предельная  теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих  причин, причем каждая из них  вносит лишь малый вклад, а  совокупный итог определяется аддитивно, т.е. путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.          

 Иногда считают, что  для нормальности распределения  достаточно того, что результат  измерения (наблюдения) Х формируется под действием многих причин, каждая из которых оказывает малое воздействие. Это не так. Важно, как эти причины действуют. Если аддитивно – то Х имеет приближенно нормальное распределение. Если мультипликативно (т.е. действия отдельных причин перемножаются, а не складываются), то распределение Х близко не к нормальному, а к т.н. логарифмически нормальному, т.е. не Х, а lg X имеет приблизительно нормальное распределение. Если же нет оснований считать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата (или какой-либо иной вполне определенный механизм), то про распределение Х ничего определенного сказать нельзя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение         

 Из сказанного вытекает, что в конкретной прикладной  задаче нормальность результатов  измерений (наблюдений), как правило,  нельзя установить из общих  соображений, ее следует проверять  с помощью статистических критериев.  Или же использовать непараметрические  статистические методы, не опирающиеся  на предположения о принадлежности  функций распределения результатов  измерений (наблюдений) к тому или иному параметрическому семейству.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Демидовия Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 2001,
2. Виноградова И.А.., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2001.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА – М. 2001.