Случайные величины и их распределения

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ,

ЭКОНОМИКИ, ПРАВА  И ИСКУССТВА

Ф.И.О. Полторак Олег Юрьевич

                                                                    Курс: Первый                           ,

                                                                        Специальность/направление: 

                                                                      Менеджмент                              ,                                   

                                                                        Форма обучения:

                                                                    Заочно-дистанционная             .

Контрольная работа

 

По предмету: Линейная алгебра

Тема работы: Случайные величины и их распределения

 

форма контроля – зачет или оценка

___________________

Оценка

«____»_______________-г.

дата проверки

_______________________

Подпись преподавателя

«____»_______________-г.

дата регистрации

_______________________

Подпись секретаря,

специалиста приемной

 

Москва, 2012

 

Содержание.  

 

Введение ……………………….. …………………………………………….......3

1. Распределение случайных величин и функции распределения………..5
2. Характеристики случайных величин…………………………………….8
3. Нормальное распределение и центральная предельная теорема……...19

Заключение……………………………………………………………………….28

Список используемой литературы……………………………………………...29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Как и всякие явления, случайные  явления вызываются вполне определенными  причинами. Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут при данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно. Роль случайностей в разных явлениях различна. В некоторых явлениях случайные отклонения от закономерностей настолько малы, что их можно не учитывать. Однако есть и такие явления, в которых невозможно подметить никаких закономерностей, и случайность играет основную роль. Примером такого явления может служить движение малой частицы твердого вещества, взвешенной в жидкости, так называемое броуновское движение. Под действием толчков огромного количества движущихся молекул жидкости частица движется совершенно беспорядочно, без всякой видимой закономерности. В подобных явлениях сама случайность является закономерностью.  При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности. Так, например, можно проектировать измерительные системы, обладающие максимальной доступной точностью, радиоприемные устройства с максимальной помехозащищенностью, обладающие минимальным уровнем шумов, системы управления движением летательных аппаратов, обеспечивающие наибольшую возможную точность навигации или наименьшее действие «болтанки» на летательный аппарат. Можно также проектировать технические системы, обладающие заданной надежностью. Изучением закономерностей массовых случайных явлений занимается особая математическая наука — теория вероятностей. Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или статистическими, дают возможность производить расчеты, позволяющие делать определенные практические выводы относительно случайных явлений. Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных для расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Случайные величины и их распределения

1. Распределения случайных величин и функции распределения.

Распределение числовой случайной  величины – это функция, которая  однозначно определяет вероятность  того, что случайная величина принимает  заданное значение или принадлежит  к некоторому заданному интервалу.          

 Первое – если случайная  величина принимает конечное  число значений. Тогда распределение  задается функцией Р(Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины Х вероятность того, что Х = х.          

 Второе – если случайная  величина принимает бесконечно  много значений. Это возможно  лишь тогда, когда вероятностное  пространство, на котором определена  случайная величина, состоит из  бесконечного числа элементарных  событий. Тогда распределение  задается набором вероятностей P(a <X <b) для всех пар чисел a, b таких, что a<b. Распределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = P(X<x), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, меньшие х. Ясно, что

P(a <X <b) = F(b) – F(a).

Это соотношение показывает, что как распределение может  быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения  – по распределению.          

 Используемые в вероятностно-статистических  методах принятия решений и  других прикладных исследованиях  функции распределения бывают  либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.          

 Дискретные функции  распределения соответствуют дискретным  случайным величинам, принимающим  конечное число значений или  же значения из множества, элементы  которого можно перенумеровать  натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рис. 1).          

 Пример 1. Число Х дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины Х изображен на рис.1.

Рис.1. График функции распределения  числа дефектных изделий.         

 Непрерывные функции  распределения не имеют скачков.  Они монотонно возрастают  при увеличении аргумента – от 0 при  до 1 при . Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.          

 Непрерывные функции  распределения, используемые в  вероятностно-статистических методах  принятия решений, имеют производные.  Первая производная f(x) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности  можно определить функцию распределения:

         

 Для любой функции  распределения

а потому

         

 Перечисленные свойства  функций распределения постоянно  используются в вероятностно-статистических  методах принятия решений. В  частности, из последнего равенства  вытекает конкретный вид констант  в формулах для плотностей  вероятностей, рассматриваемых ниже.          

 Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

   (1)

где a и b – некоторые числа, a<b. Найдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках x = a и x = b производная функции F(x) не существует).          

 Случайная величина  с функцией распределения (1) называется  «равномерно распределенной на  отрезке [a; b]».         

 Смешанные функции  распределения встречаются, в  частности, тогда, когда наблюдения  в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических  данных, полученных при использовании  планов испытаний на надежность, предусматривающих прекращение  испытаний по истечении некоторого  срока. Или при анализе данных  о технических изделиях, потребовавших  гарантийного ремонта. 

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки – случайная величина с функцией распределения F(t), а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента t₀ = 100 часов. Пусть G(t) – функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция G(t) имеет скачок в точке t₀, поскольку соответствующая случайная величина принимает значение t₀ с вероятностью 1-F(t₀)>0.

2. Характеристики случайных величин.

В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных  величин, выражающихся через функции  распределения и плотности вероятностей.          

 При описании дифференциации  доходов, при нахождении доверительных  границ для параметров распределений  случайных величин и во многих  иных случаях используется такое  понятие, как «квантиль порядка р», где 0 < p < 1 (обозначается х_р). Квантиль порядка р – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р (рис.2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль х_р порядка р (рис.2), причем

F(x_p) = p.   (2)

Рис.2. Определение квантиля х_р порядка р.         

 Пример 4. Найдем квантиль х_р порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 < p < 1 квантиль х_р находится из уравнения

,

т.е. х_р = a + p(b – a) = a(1- p) +bp. При p = 0 любое x < a является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка p = 1 является любое число x > b.          

 Для дискретных распределений,  как правило, не существует х_р, удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл.1, где x₁ < x₂ < … < x_k, то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно х_р, имеет решения только для k значений p, а именно,         

 p = p₁,         

p = p₁ + p₂,          

p = p₁ + p₂ + p₃,         

 …         

 p = p₁ + p₂ + … + p_m,   3 < m < k,         

 …         

p = p₁ + p₂ + … + p_k.

Таблица 1.

Распределение дискретной случайной  величины

Значения x случайной величины Х	х1	х2	…	хk
Вероятности P(X =x)	p1	p2	…	pk

 

          Для перечисленных k значений вероятности p решение х_р уравнения (2) неединственно, а именно,

F(x) = p₁ + p₂ + … + p_m

для всех х таких, что x_m < x < x_m+1. Т.е. х_р – любое число из интервала (x_m; x_m+1]. Для всех остальных р из промежутка (0;1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. А именно, если

p₁ + p₂ + … + p_m <p < p₁ + p₂ + … + p_m + p_m+1,

то х_р = x_m+1.         

 Рассмотренное свойство  дискретных распределений создает  значительные трудности при табулировании  и использовании подобных распределений,  поскольку невозможным оказывается  точно выдержать типовые численные  значения характеристик распределения.  В частности, это так для  критических значений и уровней  значимости непараметрических статистических  критериев (см. ниже), поскольку распределения  статистик этих критериев дискретны.          

 Большое значение в  статистике имеет квантиль порядка р = ½. Он называется медианой (случайной величины Х или ее функции распределения F(x)) и обозначается Me(X). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x_0,5) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x_0,5 и вероятность попасть правее x_0,5 (или непосредственно в x_0,5) равны между собой и равны ½, т.е.

P(X < x_0,5) = P(X > x_0,5) = ½.

Медиана указывает «центр»  распределения. С точки зрения одной  из современных концепций – теории устойчивых статистических процедур –  медиана является более хорошей  характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание [2,7]. При  обработке результатов измерений  в порядковой шкале (см. главу о  теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием –  нет.          

 Ясный смысл имеет  такая характеристика случайной  величины, как мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму  плотности вероятности для непрерывной  случайной величины или локальному  максимуму вероятности для дискретной  случайной величины.          

 Если x₀ – мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно из дифференциального исчисления, .         

 У случайной величины  может быть много мод. Так,  для равномерного распределения  (1) каждая точка х такая, что a < x < b, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.          

 Математическое ожидание  для дискретных случайных величин  с конечным числом значений  рассмотрено в главе «События  и вероятности». Для непрерывной  случайной величины Х математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

являющемуся аналогом формулы (5) из утверждения 2 главы «События и  вероятности».          

 Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины Х равно

Для рассматриваемых в  настоящей главе случайных величин  верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку  они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым  для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.         

 Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии [1].