Случайные величины и их распределения

 Каждая из трех характеристик  – математическое ожидание, медиана,  мода – описывает «центр» распределения  вероятностей. Понятие «центр» можно  определять разными способами  – отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса  распределений – симметричных  унимодальных – все три характеристики  совпадают.          

 Плотность распределения f(x) – плотность симметричного распределения, если найдется число х₀ такое, что

.   (3)

Равенство (3) означает, что  график функции y = f(x) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х₀. Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

   (4)         

 Для симметричного  распределения с одной модой  математическое ожидание, медиана  и мода совпадают и равны х₀.          

 Наиболее важен случай  симметрии относительно 0, т.е. х₀ = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

   (5)

и

   (6)

соответственно. Приведенные  соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости  табулировать при всех х, достаточно иметь таблицы при x > x₀.          

 Отметим еще одно  свойство симметричных распределений,  постоянно используемое в вероятностно-статистических  методах принятия решений и  других прикладных исследованиях.  Для непрерывной функции распределения

P(|X|<a) = P(-a <X <a) = F(a) – F(-a),

где F – функция распределения случайной величины Х. Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

P(|X|<a) = 2F(a) – 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

,

то

.

Если   и  - квантили порядка  и  соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

.         

 От характеристик положения  – математического ожидания, медианы,  моды – перейдем к характеристикам  разброса случайной величины Х: дисперсии , среднему квадратическому отклонению  и коэффициенту вариации v. Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

.

Среднее квадратическое отклонение – это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

.

Коэффициент вариации –  это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

.

Коэффициент вариации применяется  при M(X)>0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение – в абсолютных.          

 Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины Х найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной  дает возможность записать:

где c = (b – a)/2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно  а коэффициент вариации таков:          

 По каждой случайной  величине Х определяют еще три величины – центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функция распределения F_Y(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:

F_Y(x) =F(x + M(X)).

Для плотностей этих случайных  величин справедливо равенство 

f_Y(x) = f(x + M(X)).          

 Нормированная случайная  величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:

,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х. Для функции распределения F_V(x) и плотности f_V(x) нормированной случайной величины V имеем:

,

где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х, а f(x) – ее плотность вероятности.         

 Приведенная случайная  величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:

.

Для приведенной случайной  величины

.   (7)

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в  теоретических исследованиях, так  и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства   позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.          

 Используются преобразования  случайных величин и более  общего плана. Так, если Y = aX + b, где a и b – некоторые числа, то

   (8)         

 Пример 7. Если  то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).         

 С каждой случайной  величиной Х можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой Y = aX + b при различных a>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной Х. Функции распределения F_Y(x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y = aX + b часто используют запись

   (9)

где

Число с называют параметром сдвига, а число d -  параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.           

 Для масштабно-сдвигового  семейства (9) распределение Х  называют стандартным. В вероятностно-статистических  методах принятия решений и  других прикладных исследованиях  используют стандартное нормальное  распределение, стандартное распределение  Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).         

 Применяют и другие  преобразования случайных величин.  Например, для положительной случайной  величины Х рассматривают Y = lg X, где lg X – десятичный логарифм числа Х. Цепочка равенств

F_Y(x) = P(lg X < x) = P(X < 10^x) = F(10^x)

связывает функции распределения Х и Y.         

 При обработке данных  используют такие характеристики  случайной величины Х как моменты порядка q, т.е. математические ожидания случайной величины X^q, q = 1, 2, …  Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной  величины

Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q, в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка q, задаваемых формулой

Так, дисперсия – это  центральный момент порядка 2.

3. Нормальное распределение и центральная предельная теорема.

В вероятностно-статистических методах принятия решений часто  идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для  моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более  существенно, что многие методы обработки  данных основаны на том, что расчетные  величины имеют распределения, близкие  к нормальному.         

 Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Как следует из результатов предыдущей главы,

Рассмотрим приведенную  случайную величину U_n для суммы , а именно,

Как следует из формул (7), M(U_n) = 0, D(U_n) = 1.         

 Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.          

 Подробнее о функции Ф(х) – ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф – греческая прописная буква «фи»).         

 Центральная предельная  теорема (ЦПТ) носит свое название  по той причине, что она является  центральным, наиболее часто применяющимся  математическим результатом теории  вероятностей и математической  статистики. История ЦПТ занимает  около 200 лет – с 1730 г., когда  английский математик А.Муавр  (1667-1754) опубликовал первый результат,  относящийся к ЦПТ (см. ниже  о теореме Муавра-Лапласа), до  двадцатых – тридцатых годов  ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906-1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.          

 Развитие рассматриваемой  тематики на этом отнюдь не  прекратилось – изучали случайные  величины, не имеющие дисперсии,  т.е. те, для которых

(академик Б.В.Гнеденко  и др.), ситуацию, когда суммируются  случайные величины (точнее, случайные  элементы) более сложной природы,  чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и  т.д.         

 Функция распределения Ф(х) задается равенством

,

где  - плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

.

Здесь =3,1415925… - известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,

         

 При обработке результатов  наблюдений функцию нормального  распределения не вычисляют по  приведенным формулам, а находят  с помощью специальных таблиц  или компьютерных программ. Лучшие  на русском языке «Таблицы  математической статистики» составлены  членами-корреспондентами АН СССР  Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым [8].          

 Вид плотности стандартного  нормального распределения   вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.         

 Для иллюстрации приводим  небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.

Таблица 2.

Функция стандартного нормального  распределения.

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
-5,0	0,00000029	-1,0	0,158655	2,0	0,9772499
-4,0	0,00003167	-0,5	0,308538	2,5	0,99379033
-3,0	0,00134990	0,0	0,500000	3,0	0,99865010
-2,5	0,00620967	0,5	0,691462	4,0	0,99996833
-2,0	0,0227501	1,0	0,841345	5,0	0,99999971
-1,5	0,0668072	1,5	0,9331928

 

          Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D(X) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины U_n, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения U_n стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем при любом х.

Таблица 3.

Квантили стандартного нормального  распределения.

р	Квантиль порядка р	р	Квантиль порядка р
0,01	-2,326348	0,60	0,253347
0,025	-1,959964	0,70	0,524401
0,05	-1,644854	0,80	0,841621
0,10	-1,281552	0,90	1,281552
0,30	-0,524401	0,95	1,644854
0,40	-0,253347	0,975	1,959964
0,50	0,000000	0,99	2,326348

 

          Введем понятие семейства  нормальных распределений. По  определению нормальным распределением  называется распределение случайной  величины Х, для которой распределение приведенной случайной величины есть Ф(х). Как следует из общих свойств масштабно-сдвиговых семейств распределений (см. выше), нормальное распределение – это распределение случайной величины