Система с отказами

 

БОУ ОО СПО «Омский  промышленно-экономический колледж»

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине   «Математические методы»

 

Тема: Система с отказами

 

 

 

Выполнил:

Бондарев А.С.

3 курс, гр. БП-119

 

Руководитель

Белгородцева Н.А.

 

Оценка:________________

Дата защиты:___________

 

 

Омск 2012

Оглавление

 

 

 

 

 

Введение

 

Системой массового  обслуживания (далее - СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты времени. Примеры СМО: телефонная станция; бюро ремонта; билетная касса; парикмахерская; ЭВМ. Теория массового обслуживания изучает случайные процессы, протекающие в системах массового обслуживания. Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания (или «прибором»). СМО бывают как одно-, так и многоканальными. Пример одноканальной СМО — билетная касса с одним кассиром; пример многоканальной — та же касса с несколькими кассирами.

Модели систем массового  обслуживания – это случайные  процессы специального вида, которые  иногда называют процессами обслуживания.

Основные задачи теории массового обслуживания обычно состоят  в том, чтобы на основании локальных  свойств рассматриваемых случайных процессов изучить их стационарные характеристики (если таковые существуют) или поведение этих характеристик за большой промежуток времени.

Одна из главных конечных целей исследований в этой области  состоит в выборе наиболее разумной организации тех или иных систем массового обслуживания.

 

Обзор литературы

 

[1] В ней было хорошо  расписано СМО с отказами и  формула для нахождения экономической  оценки вариантов. Которая была  применена в примерах. Вся используемая информация разбита по пунктам, материал для восприятия изложен достаточно просто.

[2] Было взято "Простейший поток событий и его свойства"  достаточно коротко и ясно изложена информация.

[3] Была исследована и сравнена "Простейший поток событий и его свойства" с другим источником.

[4] Была исследована и сравнена "Система массового обслуживания" с другим источником. Введение было взято с этого источника.

Также были использованы лекции по дисциплине "Математические методы". 
        1. Классификация систем массового обслуживания

 

В каждую систему массового обслуживания (СМО) поступает входящий

поток заявок на обслуживание. Результатом работы СМО является выходящий поток обслуженных заявок.

1. Потоком событий называется последовательность однородных событий, происходящих в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.
2. Если в СМО одновременно может обслуживаться несколько заявок, то СМО называется многоканальной, в противном случае СМО называется одноканальной.
3. Как одноканальные СМО, так и многоканальные СМО делятся на СМО с отказами и СМО с очередью (ожиданием).
4. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает «отказ» в обслуживании и покидает СМО.
5. В СМО с очередью заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь из заявок, ожидающих обслуживания. Как только один из каналов обслуживания освобождается, к обслуживанию принимается одна из заявок, стоящих в очереди.
6. СМО с очередью различаются по принципу построения (дисциплине) очереди.
7. Принципом построения очереди называется схема, в соответствии с которой заявки из очереди выбираются на обслуживание. Чаще всего при этом используется:

• Случайный выбор заявки из очереди;

• Выбор заявки из очереди в зависимости от её приоритета;
• Выбор заявки в зависимости от порядка её поступления в очередь.

 

В третьем случае заявки из очереди могут обслуживаться, как по схеме:

«Первым пришел - первым обслуживаешься», так и по схеме: «Последним

пришел - первым обслуживаешься».

• СМО с очередью делятся также на СМО с неограниченным ожиданием и СМО с ограниченным ожиданием.
• В СМО с неограниченным ожиданием каждая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена.
• В СМО с ограниченным ожиданием на пребывание заявок в очереди накладываются различного рода ограничения. Эти ограничения могут касаться, например, длины очереди, времени пребывания заявки в очереди, общего времени пребывания заявки в СМО и т.п. В частности, в СМО с ограниченным временем пребывания в очереди, заявка, израсходовавшая лимит времени пребывания в очереди, покидает СМО. 
  2. Простейший поток событий и его свойства

 

Поток событий называется простейшим потоком событий, если он обладает следующими свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности:

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность появления одного или нескольких событий на участке времени длины T зависит только от длины T этого участка и не зависит от того, в каком месте оси времени тот участок располагается.
2. Поток событий называется потоком с отсутствием последействия (без последействия), если события, составляющие поток, появляются в случайные моменты времени независимо друг от друга.
3. Поток событий называется ординарным, если события, составляющие поток, происходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.

Замечание: Поток, в котором события происходят через равные промежутки времени, не является простейшим потоком событий.

Интенсивностью (плотностью) потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Замечание: Простейший поток событий обладает постоянной интенсивностью.

Замечание: В дальнейшем изложении будем предполагать, что все потоки событий являются простейшими потоками, не оговаривая этого особо. Простейший поток событий близко связан с распределением Пуассона. Действительно, справедливо следующее

Утверждение 1. Вероятность того, что на отрезке времени длины T произойдет ровно k событий из простейшего потока с интенсивностью λ, выражается формулой Пуассона.

Утверждение 2. Длина отрезка времени между последовательными событиями из простейшего потока событий с интенсивностью λ является случайной величиной, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ.

Замечание. Плотность показательного распределения определяется по формуле.

 

 

3. Формулировка задачи и характеристики СМО

Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения  потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

Основными элементами СМО  являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания и выходящий  поток.

 

 

 

 

Рисунок 3.1 – Основные элементы СМО

 

Входящий поток: на практике наиболее распространённым является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется  тем, что вероятность поступления  определённого количества требований в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.

Отсутствие последействия характеризуется  тем, что поступление заявки не зависит  от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента.

В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона

,

где - интенсивность потока заявок, т. е. среднее число заявок в единицу времени:

(чел./мин, р./ч, автом./дн., квт/ч),

где - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания находится  по формуле:

,

где - интенсивность движения очереди, т. е. среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени:

,

где - среднее значение времени ожидания в очереди.

 

Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания является случайной величиной и вычисляется по формуле

,

где - интенсивность потока обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

(чел./мин, р./дн., кг/ч, докум./дн.),

где - среднее время обслуживания.

Важной характеристикой  СМО, объединяющей и , является интенсивность нагрузки

 

4. Система с отказами

Система массового обслуживания с отказами не допускает образования очереди поступающих работ. Если в момент поступления очередного требования в системе все каналы заняты, то требование покидает систему.

Если имеется  свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования.

Каждый из п каналов может одновременно обслуживать только одно требование и все каналы функционируют независимо.

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром . Время обслуживания каждого требования является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром . Состояние такой системы описывается системой дифференциальных уравнений:

где  - вероятность того, что в системе в момент времени t занято k каналов обслуживания.

Интенсивность нагрузки:

где - интенсивность потока заявок,

- интенсивность потока обслуживания;

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

 

 

где n - число каналов обслуживания;

- параметр системы.

2. Вероятность того что, все обслуживающие каналы заняты:

 

где - интенсивность нагрузки;

n - число каналов обслуживания;

- вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны.

3. Вероятность обслуживания:

4. Среднее число каналов занятых обслуживанием каналов:

где - интенсивность нагрузки.

5. Коэффициент загрузки каналов:

где - Среднее число каналов занятых обслуживанием каналов;

n - число каналов обслуживания.

6. Абсолютная пропускная способность:

где - интенсивность потока заявок.

Для систем массового обслуживания решаются задачи выбора оптимального количества аппаратов, подбора параметров обслуживающего комплекса, расчета пропускной способности систем и др.

Экономическая оценка вариантов  систем имеет вид:

 

 

где а - норма амортизации;

- цена канала обслуживания;

 и - текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего канала;

- потери производства от невыполнения  работы (потери одного отказа);

-  годовой фонд рабочего  времени системы.

 

5. Решение задач

Задание 1. Фирма имеет n = 4 телефонных диспетчеров. Среднее число вызовов в течении часа составляет = 96. Среднее время телефонного разговора = 2 минуты. Определить степень загрузки диспетчеров и вероятность отказа в обслуживании.

Решение.

Определим интенсивность потока обслуживания:

(мин)

где - среднее время обслуживания.