Шпаргалка по "Математике"

2) Частот   (вверху x_i, внизу n_i)

3) Относительных частот   (вверху x_i, внизу p_i*)

Интервальный ряд  отличается от не интервального тем, что в качестве вариант (x_i) в нём используются интервалы, например, [x_i;x_i+1).

По теореме Бернулли, pi*→p, при условии что n→∞; Таким образом, распределение выборки, задаваемое стат. рядом относительных частот или интервальным стат. рядом относительных частот наз. эмпирическим (статистическим) распределением случайной величины х. 

17. Эмпирическая функция  распределения, полигон,  гистограмма.

Эмп. функцией распределения  называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<x;

F*(x)=n_x/n, где n_x – число вариант, меньших х, n – объём выборки.

Свойства:

1) F*(x) Є [0;1]

2) F*(x) – неубывающая

3) Если х₁ – наименьшая варианта, а х_к – наибольшая, то F*(x)=0 при x≤x₁ и F*(x)=1 при x>x_k.

По закону больших  чисел т. Бернулли p_i*→p_i.

F*(x) является приближенным значением F(x)

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁;n₁)…(x_k;n_k), где x_i- варианты выборки,

 n_i – соответствующие им частоты. Полигон относительных частот – то же самое, только вместо n_i пишем p_i. Не забыть нарисовать!!

Гистограммой частот наз. ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению n_i/h. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот т. е. объёму выборки. Для гистограммы относительных частот вместо n_i пишем p_i (p_i=n_i/n), а её площадь равна единице. Не забыть нарисовать!! 
 

18. Определение неизвестных  параметров распределения  (выборочная средняя,  выборочная и исправленная  выборочная дисперсии).

Несмещенной наз. точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной наз. точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой  генеральной средней (мат. ожидания) служит выборочная средняя

Если первоначальные варианты x_i большие числа, то для упрощения вычислений вводят условные варианты.

u_i=x_i – c,  c – ложный нуль. с≈х_в

Для хар-ки рассеяния  применяется стат. дисперсия

Для нахождения дисперсии более удобна формула

При нахождении дисперсии  также можно перейти к условным вариантам, при этом результат не изменится.

Если варианты –  дроби с k-десятичными знаками после запятой, то условные варианты выбирают так:

u_i=Cx_i,   C=10^k;

Чтобы получить несмещенную  оценку дисперсии, находят исправленную выборочную дисперсию.

более удобна формула:

- исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение. 
 

19. Точечные и интервальные  оценки параметров  распределения. Точность  и надёжность оценки. Доверительный интервал. Доверительный интервал  для оценки мят.  ожидания нормально  распределённой случайной  величины с известным σ.

Точечной оценкой  наз. оценка, характеризуемая одним  числом. Оценка параметра, характеризуемая  двумя числами (концами интервала) наз. интервальной.

Пусть

Число δ такое, что величина характеризует точность оценки а(с волной)

Надежностью (дов. вероятностью) оценки а по а(с волной) наз. вероятность  γ(гамма), с которой выполняется 

L – интервал, покрывающий параметр а с заданной надёжностью γ.

Пусть Х(а, σ) нормально  распределена.

Известно, что при  нормальном распределении М(Х)=а, D(X)=σ²;

в дальнейшем все  х_в буду писать без черты сверху, но она там есть!

Х_в – также имеет нормальное распределение, причем

М(Х_в)=а,   D(X_в)= σ²/n;

! не путать σ  и σ(Х) !

обозначим , тогда  

Таким образом, с вероятностью γ можно утверждать, что параметр а покроет интервал

 
 

20. Понятие корреляционной  зависимости. Коэффициент  корреляции, положительная  и отрицательная  корреляции. Функции  и линии регрессии.

Определение. 2 случ. величины X и Y находятся в корреляционной зависимости если каждому значению одной из них соответствует определенное распределение вероятности другой.

Коэффициент корреляции безразмерная величина

св-ва коэффициента корреляции:

1) если X и Y независимые сл. величины, то R(x,y)=0. Обратное не всегда верно.

2) Для всех X, Y    |R(x,y)|<=1. Если |R(x,y)|=1 то X и Y связаны линейной зависимостью.

  R(x,y) хар-зует только лин. корреляционную зависимость, кот. состоит в том, что с увеличением одной из случайных величин, вторая имеет тенденцию увеличиваться, причем R – определяет степень близости корреляционной зависимости к линейной. Чем ближе R к единице, тем зависимость между X и Y ближе к линейной, чем ближе R к нулю, то либо X, Y независимые, либо зависимость корреляционная, но не линейная.

  Если R>0 то говорят о положительной корреляции, если R<0 то – об отрицательной. 

   Пусть X и Y непр. случ. величины, находящиеся вв корреляционной зависимости.

Определение. Плотность распр. случ. величины Y равная f_x(y), при условии X=x, наз. условной плотностью распределения Y.

Вычислим мат. ожидание

Эта функция наз. функцией регрессии Y на X. Аналогично

Функции φ(x) и g(x) линейные

Доказано, что ур-е  линии регрессии имеет вид:

ур-е линейного  распределения (Y на X): 

ур-е линейного  распределения (X на Y): 

Ур-е линии регрессии  имеет вид:

y=ρx+b, где