Шпаргалка по "Математике"

Док-во: т.к. |ф-ла Ньютона-Лейбница|=

2.

Док-во:

По определению 

3.    Док-во:

,но F(x) – неубывающая

4. Док-во:

   

График плотности  вероятности или дифференциальной ф-цией распределения называется кривая распределения. Из вышеперечисленных св-в:

нарисовать любую  f(x)… 
 

10. Числовые характеристики  случайных величин.  Математическое ожидание  дискретных и непрерывных  случайных величин.

Мат.ожиданием  дискретной с.в.(д.с.в.) наз. сумма произведений и ее возможных значений на их вер-ти.

Теорема(вероятностный смысл мат.ожидания)

М.О ≈ среднему арифметическому наблюдаемых значений с.в.

Равенство тем точнее, чем больше наблюдений

Х – д.с.в. Пусть  х₁ наблюдалось m₁ раз, x_k – m_k.

n=m₁+…+m_k;

Далее на отрезке показать несколько точек, и отметить что  мат. ожидание лежит  ровно посередине отрезка..

Разность x–М(Х) наз. отклонением случайной величины

Св-ва М.О.

1) М(С)=С

2) М(СХ)=СМ(Х) 

Определение. Две с.в. наз. независимыми (н.с.в.), если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.

Определение. Произведением двух н.с.в X и Y наз. с.в. ХY, возможные значение которой =произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; их вер-ти = произведениям вер-ти сомножителей.

3) M(XY)=M(X)*M(Y), если X,Y – н.с.в.

 Док-во:

M(XY)=x₁y₁p₁q₁+ x₁y₂p₁q₂+ x₂y₁p₂q₁+x₂y₂p₂q₂=

=y₁q₁(x₁p₁+x₂p₂)=(x₁p₁+x₂p₂)(y₁q₁+y₂q₂)=M(X)*M(Y)

Определение. Суммой двух с.в. X и Y наз. с.в X+Y, возможные значения которой = суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; их вер-ти = произведениям вер-тей слагаемых, если X и Y – независимые и произведению вер-ти одного слагаемого на условную вер-ть другого, если X и Y зависимые.

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

5. M(C₁X₁+…+C_nX_n)=C₁M(X₁)+…+C_nM(X_n)

6. M(x-M(X))=0 | M(x-M(X))=M(X)-M(M(X))=0

7. М.О. числа появления события в первом испытании = вер-ти этого события

    Х – число появления соб.А в первом испытании

8. М.О. числа появления события в n испытаниях = произведению n*p, где р – вер-ть появления события в каждом испытании.

M(X)=n*p 

М.О  непрерывной с.в. (н.с.в.)

Пусть Х – н.с.в., возможные значения в интервале (a;b) или (-∞;∞), f(x) – плотность распределения.

тогда

Св-ва М.О. для н.с.в те же ,что и для дискретных. 

11. Дисперсия и среднеквадратическое  отклонение дискретных  и непрерывных  случайных величин.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины наз. разброс  случайной величины вокруг мат. ожидания.

Определение. Дисперсией сл. величины Х наз. мат. ожидание квадрата её отклонения.

D(X) = M[X – M(X)]²

если Х – дискретна  то D(X) находится так:

 

если Х – непрерывна то D(X) находится так:

Размерность дисперсии:

   Характеристика  разброса – среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность что и Х и находится по формуле:

Теорема:

 

Док-во:

тогда дисперсию можно  найти по формулам:

Свойства дисперсии:

1) D(C) = 0;

2) D(CX) = C²D(X)

3) D(X+Y)+D(X)+D(Y), X, Y независимые

4) D(C₁X₁+…+C_kX_k)=C₁²D(X₁)+…+C_k²D(X_k)

   Следствие:

   1) D(X–Y)=D(X)+D(Y)

   2) D(C+X)=D(X)

5) Дисперсия числа  появления события в 1 испытании  равна произведению вероятностей  появления и непоявления этого  события. D(X)=pq;

6) Дисперсия числа  в n-испытаниях D(X)=npq; 
 
 

12. Начальные и центральные  моменты распределения,  асимметрия, эксцесс, мода, медиана.

   Начальным моментом порядка k случайной величины Х наз. мат. ожидание величины Х^k.

   таким образом, для  дискретных величин:

, а для непрерывных:

Центральным моментом порядка k случ. величины Х называют мат. ожидание величины:

 

в частности    

μ₃ – характеристика асимметрии случ. величины

  - коэффициент асимметрии

a_x=0                                        a_x<0 
 

a_x>0 
 
 
 

μ₄ – характеристика островершинности и плосковершинности

.

для нормального распределения  с_х=0

 
 
 
 

Модой дискр. случ. величины наз. ее наиболее вероятное значение; модой непр. случ. величины наз. такое ее значение, при котором плотность распределения имеет максимальное значение.

Медиана непр. случ. величины наз. такое ее значение, относительно которого равновозможно что Х будет больше или меньше этого значения.

P(X<М_д)=P(X>М_д)=0,5 
 

13. Равномерное и  показательное распределения,  функция надежности.

Определение. Непр. случ. величина Х имеет равномерное распределение на [a;b], если ее плотность распределения на этом отрезке постоянна, а вне ее = 0.

-далее построить график f(x)…

Найдем функцию  распределения:

1) x≤a – F(x)=0;        3) x>b – F(x)=1;

Найдем числовые хар-ки:

  

Показательным называют распределение вероятностей непр. случ. величины Х, которое описывается  плотностью:

 
 

Функция распределения:

Числовые хар-ки:

  

Функция надежности

R(t)=P(T>t)=1-F(t), где T – непр. случ величина – время безотказной работы в течение времени t.

R(t)=e^-λt. Функцию надежности наз. показательным законом надежности, λ – интенсивность отказа. 
 
 

14. Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непр. случ. величины Х, плотность которого имеет  вид:

        

Свойства:

1) f(x) определена для всех х

2) f(x)>0 для всех х

3) lim(x→±∞)f(x)=0, ОХ – асимптота

4) f`(x)=0;   x_max=a   y_max=1/[σ*sqrt(2π)]

 
 
 
 

1) Изменение параметра  а не влияет на форму, только на положение кривой.

2) При увеличении  σ кривая становится более  пологой, и наоборот.

вероятность попадания в интервал, функция Лапласа

 

Св-ва Ф(х):

1) Ф(х) определена  для всех х

2) Ф(0)=0;  Ф(∞)=0,5

3) Ф(–х)= –Ф(х)

4) Для всех х>5,  Ф(х)=0,5

функция распределения

вероятность заданного отклонения

правило трёх сигм

Если величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от мат. ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения. 

15. Понятие о предельных  теоремах. Закон больших  чисел, центральная  предельная теорема.

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин X1, X2, … , Xn имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (ен превышают постоянного числа C), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т. е. если ε – любое положительное число, то

В частности, среднее  арифметическое последовательности попарно  независимых величин, дисперсии  которых равномерно ограничены и  которые имеют одно и то же мат. ожидание а, сходится по вероятности  к мат. ожиданию а, т. е. если ε – любое положительное число, то

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε - сколь угодно малое положительное  число, то

Замечание:

т.Б. утверждает, что  при n→∞ относительная частота стремится по вероятности к р. 

Теорема Ляпунова (центральная  предельная теорема): если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

--Говорят, что к последовательности Х₁ , Х₂...Х_n применима центральная предельная теорема, если при любом х ф-ция распределения нормированной суммы при n→∞ стремится к нормальной ф-ции распределения 
 
 
 

16. Предмет математической  статистики и ее  основные задачи. Основные понятия  (выборка, объём  выборки, варианты, статистический ряд,  интервальный ряд).

Мат. статистика занимается сбором, описанием и анализом. Задачи:

1) Определение неизвестных  законов распределения

2) Оценка неизвестных  параметров распределения

3) Статистическая  проверка гипотез.

Основные понятия:

Пусть требуется изучить  некоторый признак относительно количества или качества.

Определение. Выборочной совокупностью (выборкой) наз. совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью наз. совокупность объектов, из которых производится выборка. Число объектов в каждой совокупности наз. её объёмом.

x₁,x₂,…,x_n – варианты

n_i – частота варианты x_i, p_i* - относительная частота этой варианты.

Статистический ряд  может быть:

1) Простой   (таблица, вверху i, внизу x_i)