Шпаргалка по "Математике"

1. Предмет теории  вероятностей. Случайные  события, частота.  Статистическое и

геометрическое  определения вероятности

Предметом теор вероятности явл изучение вероятностным законом массовых однородных случ. событий.

Опр: Случайными называются события, которые при совокупности условий могут произойти или нет.

Совокупность условий, при которых случайные события могут произойти или нет, называются опытом или испытанием. A,B, C, … - случ. события

Непосредственные  исходы опыта называются элементарными событиями ω

Множество всех элементарных событий, называется пространством элемент. событий. Ω ={ω} Может быть без/конечным

Опр: Событие назыв. невозможным, если оно заведомо не произойдёт в результате опыта.

Событие назыв. достоверным, если она обязательно произойдет в результате опыта.

Два события наз. несовместными, если в результате опыта, возникновение одного, исключает появление второго, и наоборот совместными.

События A₁, A₂,…,A_n наз. попарно несовместными, если любые 2 из них несовместны.

Несколько событий  образуют полную группу событий, если они: 1) попарно несовместны; 2) в результате каждого опыта, происходит только одно из них.

Два события наз. равновозможными, если они имеют одинаковые возможности появиться.

Опр: Относительной частотой назыв. отношение числа появления события А к общему числу проводимых испытаний. P*(A)=m/n;

Свойства: 1)P*Є[0;1]; 2) P*(Ω)=1;

3) P*(A+B)=P*(A)+P*(B), А и В несовместны;

4) P*(Ø)=0

Относительная частота  так же обладает свойством статистической устойчивости: с увеличением испытаний, относительная частота принимает значения близкие к одному и тому же числу.

Это позволяет приписать  каждому случайному событию свойственную ему вероятность, как меру объективной  возможности осуществления этого события.

Статистическое  определение вероятности. За вероятность случайного события принимается число, около которого колеблется частота при достаточно большом количестве испытаний.

Геометрическое  определение вероятности: применяется тогда когда исходы опытов равновозможные, а Ω бесконечное несчётное множество. Задачу можно свести к бросанию точки на конечную часть прямой, плоскости или пространства. В область G бросается на удачу точка, предположим, что точка может попасть в любую часть области G, и вероятность её попадания в любую часть G пропорциональна S_G и не зависит от её формы и расположения. Тогда определим вероятность попадания точки в область g. P=S_g/S_G 
 

2. Пространство элементарных  событий. Алгебра  событий. Классическое определение вероятности.

Непосредственные  исходы опыта называются элементарными событиями. ω

Множество всех элементарных событий, называется пространством элемент. событий. Ω ={ω} Может быть без/конечным

Несколько событий  образуют полную группу событий, если они: 1) попарно несовместны; 2) в результате каждого опыта, происходит только одно из них.

Два события назыв. равновозможными, если они имеют  одинаковые возможности появиться. 

1. Объединением (суммой ) А и В назыв. С, наступление которого, происходит при наступлении хотя бы одного из событий А или В.

2.  Пересечением (произведением) А и В, назыв. С состоящее в совместном появлении события А и В.

3.  Разностью А и В, называется событие когда произошло A и не произошло В.   А\В

4.  Дополнением к  событию А, назыв. противоположным к событию А.

5. Если событие А влечет за собой событие В, то 

6. Если А и В несовместны, то

7. Если A₁, A₂,…,A_n полная группа событий, то

1) 2)    

Свойства  операций: 1) Переместительный A+B=B+A; 2) Сочетательный AB=BA; 3) Распределительный A(B+C)=AB+AC; 4) 5) 6) 7)

Классическое  определение вероятности: пусть производиться испытания с n исходами, которые образуют полную группу независимых равновозможных событий

1) 2)

3) P(ω₁)=…=P(ω_n)

Такие элементарные события  часто называют шансами или случаями, а опыт классическим. Можно свести к схеме урн. Различные случайные события связанные с этими испытаниями, являются . Элементарные события относящиеся к подмножеству А, нызв. благоприятствующими этим событиям.

Вероятность события  А называется отношение благоприятствующих событий m к числу общих событий n. . Свойства: 1) ; 2) ; 3) P(A+B)=P(A)+P(B), А и В несовместны;

4)  
 

3. Теоремы сложения  и умножения вероятностей. Условная вероятность.  Зависимые и

независимые события.

Определение: Два события А и В, называются зависимыми если вероятность каждого из них меняется в связи наступления (не наступления) каждого из них, иначе они называются независимыми.

A₁, A₂,…,A_n наз. независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация остальных независима.

Определение: Вероятность события А, при условии, что событие В уже произошло, наз. условной вероятностью события А при условии В, т.е. P(A/B)=P_B(A)

Теорема умножения: вероятность совместного появления событий А и В

P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B), (если А и В независимы то, P(AB)=P(A)*P(B)

Следствия: 1) 2) если A₁, A₂,…,A_n независимые

Теорема сложения: вероятность появления хотя бы одного из совместных события А и В равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Чаще для определения вероятности используют переход на противоположное событие.  
 

4. Формула полной  вероятности. Формула  Байеса.

Теорема: Пусть событие А, может появиться только при выполнении одного из условий образующих полную группу событий B₁, B₂,…,B_n  (т.е. они несовместны B_iB_j=Ø, т.е. ), их так же называют гипотезами, то его вероятность находиться по формуле -

формула полной вероятности.

Док-во: Из условия ясно что A=AB₁+AB₂+…+AB_n

P(A)=P(AB₁)+…+P(AB_n)=P(B₁)*P(A/B₁)+…+P(B_n)*P(A/B_n) 

Теорема: Пусть событие А может появиться вместе с одним из событий образующих полную группу B₁, B₂,…,B_n Тогда вероятность каждой гипотезы после осуществления события A, находится по формуле - формула Байеса

Док-во: по теореме умножения

где Р(А) - формула полной вероятности 
 

5. Повторение испытаний.  Формула Бернулли.

Пусть проводиться  n испытаний, в каждом из которых событие а может произойти или нет. Условия испытаний одинаковы, т.е. Пусть p – вероятность, что А появиться, а q вероятность, что не появиться =1-p

Найдём вероятность  того, что событие А произойдёт m раз в n испытаниях.

 

Таких событий подобных В, когда событие А произойдёт m  раз и не произойдёт n-m раз будет = числу сочетаний из n Эл-тов по m: . Все эти события B несовместны, а искомое событие будет равно их сумме.

Поэтому по теореме  сложения и умножения имеем  
 

6. Локальная и интегральная  теоремы Лапласа.  Функция Лапласа.  Формула Пуассона.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность  наступления события А постоянна  и ≠ 0 и ≠ 1, и число испытаний n велико, то вероятность того, что  соб. А в n-испытаниях получится m раз находится по формуле

1) - четная

2) φ(x) убывает, при х→∞ φ(x)=0

3) φ(x)=0 для всех х>4 

Интегральная  теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность  наступления события А в каждом испытании постоянна и ≠ 0 и ≠ 1, и число испытаний n велико, то вероятность того, что соб. А в n-испытаниях получится от m1 до m2 раз находится по формуле

 

  

Ф(x) – интеграл вероятности (функция Лапласа)

Формула Пуассона.

Если в каждом испытании  вероятность Р(А) очень мала, а число испытаний велико, то P_n(m) находится по формуле Пуассона

 
 

7. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. 

Случайными  величинами наз. переменные, которые принимают те или иные значения, неизвестные заранее

X,Y,Z – случайные величины

x,y,z – значения случайных величин

Случайные величины:

а) дискретные – возможные значения которых есть отдельные изолированные числа.

 б) непрерывные (напр, расстояние от точки попадания до центра мишени; или время работы эл.лампы)

Множество значений дискретных случ. вел. будет конечным или счетным.

Множество значений непрерывных случ. вел. – несчетное множество.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Пусть X – дискр.с.в., кот принимает n значений x₁,x₂…x_n

Функция P(X), связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями наз. законом распределения случайной величины.

Как и любую ф-цию  закон распределения можно задать

1) таблично:

2) графически:многоугольник распредиления

3) аналитически, т.е. с помощью формулы:

1. Пусть X – число появления соб. А в n испытаниях, Р – вероятность появления, q=1-P – непоявления

- биномиальное распределение

Можно задать таблицей: подставить вместо m=x, х[0..n]

M(X)=np;   D(X)=npq;

Если р мало, n – велико( ), то:

- распределение по закону Пуассона(закон редких явлений)

M(X)=D(X)=λ 

8. Интегральная функция  распределения (функция  распределения), свойства, график.

Функцией  распределения (интегральным законом) с.в X наз. вероятность того, что Х примет значение < х

F(x)=P(X<x)

Эта функция является законом распределения  с.в. Ее можно определить как для дискретной, так и для непрерывной с.в.

Для дискретной с.в. Х, принимающей значения х_1, х_2...х_n ф-я распределения находится по формуле:

Свойства:

1. F(x) – ограниченная ф-я F(x)Є[0;1]

2. F(x) – неубывающая ф-я, т.е F(x1)<=F(x2) если x1<x2

Док-во: Пусть x1<x2. Тогда

F(x2) – F(x1) = P(X<x2) –  P(X<x1) = P(x1<X<x2)>0

    Следствия из (2):

1) - вероятность попадания с.в. Х в интервал [a;b]

2)Вероятность того, что Х примет значение a равна 0.

Р(Х=а)=0

3)

  и т.д.

3. Если возможные значения с.в.Х Є (a;b), то 

F(x)=0 для x<=a   

F(x)=1 для x>=b    

 Следствие: Если x→-∞, F(x) →0;  x→∞, F(x) →1;

График: нарисовать любой 

9. Дифференциальная  функция распределения  (плотность распределения), свойства, график.

(только для непрерывных  с.в.)

Пусть Х – непрерывная  с.в., тогда F(x) – непрерывная и дифференцируемая ф-я. Дадим х приращение ∆х  и рассмотрим  - эта величина определяет среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины интервала.

- плотность распределения или дифференциальная функция распределения.

Св-ва:

1. Вероятность попадания с.в. Х в интервал (a;b):