Различные определения интеграла и их сравнение

Другими словами, производная определённого интеграла  от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной  функции в этом пределе.

Док-во. Дадим верхнему пределу приращение . Тогда

, где  - точка, лежащая между и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим  . При этом ( - точка, расположенная между и ). Так как непрерывна в точке , то  . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная  функция  имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

 

б) Формула  Ньютона – Лейбница

Если  непрерывна на отрезке , и - некоторая первообразная функции , то .

Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной функции . Так как - тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел обозначим . Окончательно, .

Разность  в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Верхняя и нижняя сумма Дарбу

Пусть на отрезке  задана функция . Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками : ;

Верхней суммой Дарбу для  разбиения  _{называется число}

Соответственно, нижней суммой Дарбу для разбиения Λ_k называется

где и — точная верхняя и нижняя грани множества

значений функции f(x) на отрезке [x_{i − 1},x_i].

 

 

 

а- нижняя сумма Дарбу  

б- верхняя сумма Дарбу

 

 

8 Предел  нижней суммы Дарбу равен пределу  верхней суммы Дарбу и равен  определенному интегралу от функции  на отрезке

 

 

2 Определение определенного интеграла через первообразную

2.1Опредеоение

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) или dF(x)=f’(x)

Определение: Интегралом функции f(x) на отрезке [a; b] называется разность первообразных функции f(x) в точках b и a:

=F(x)|

_{2.2 Пример}

.

_{Рассматривая  свойства этого интеграла  можно заметить, что  они совподают со всеми свойствами уложенными выше.}

3 Определение определенного интеграла  через суммы Дарбу

3.1 Определение верхнего и нижнего  интеграла.

Верхним интегралом функции f(x) называется

 

 

3.2 Определение интеграла через суммы Дарбу

Функцию f называют интегрируемой на отрезке [a; b] , если она ограничена на нем и её верхний и нижний интегралы совпадают. Их общее значение называют определенным интегралом функции f по отрезку [a; b] и обозначают

 

 

 

3.3 Свойства определенного интеграла

Имеют место  неравенства

пусть k - постоянная

(2)

1°. Линейность определенного интеграла. Если функции f u g интегрируемы

 на отрезке [а,  b], то и их сумма f + g интегрируема на этом отрезке, причем

 

(3)

 

Действительно, в силу (1)

 

 

Так как  крайние члены равны, то

 

т. е.   f + g  интегрируема  на  [а,  b]  и  справедлива формула   (3).

 

2°. Если функция f интегрируема на отрезке [а, b], то и функция kf для любой постоянной k интегрируема на этом отрезке, причем

(4)

Действительно, на основании (2) если k>=0, то

 

если же k < 0, то

 

 

Таким   образом,   в   обоих  случаях  kf  интегрируема  на [а, b] и справедлива формула (4).

Свойство  3° выводится из свойств 1° и 2°  индукцией по числу слагаемых.

3°. Если функции f1 ...,fn интегрируемы на отрезке [а, b], то и любая их линейная комбинация k1f1+. . . . . . +knfn интегрируема на этом отрезке, причем

 

В частности, разность f — g функций f u g, интегрируемых на отрезке [а, b], интегрируема на [а, b] и

4°. Аддитивность. Определенный интеграл есть аддитивная

 функция отрезка интегрирования, т. е. если и функция f

интегрируема на отрезках [а, с] и [с, b],  то  f  интегрируема на отрезке [а, b], причем

(5)

 

5°. Функция f, интегрируемая на отрезке [а, b], интегрируема на каждом

отрезке

[с, d] _[a, b].

 

6° (теорема об интеграле с переменным верхним пределом).   Пусть

функция f  интегрируема на отрезке (и,   значит,  в силу  5° на  каждом

отрезке  [а, b] содержащегося в ). Зафиксируем  произвольно точку и 

для всех .

положим

 

Если  f непрерывна  в точке х,  то F   дифференцируема в этой точке, причем

 

 

 

7°. Интегрируемость модуля и произведения. Если функция f

интегрируема на отрезке то и ее

модуль интегрируем на этом отрезке, причем

 

8°  Если  функции  f u g интегрируемы на отрезке то  и их

произведение  fg интегрируемо на этом отрезке.

 

4 Сравнение различных подходов к теории интегрального исчисления

Можно доказать, что все эти три определенные выше подхода к понятию определенного интеграла эквивалентны.

4.1 Эквивалентность первого и второго  определения:

- определение (1)

                    - определение (2)

 

из (1) вытекает (2) как 7 свойство

покажем, что  из (2) вытекает (1):

      

 

        Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками

   До множим обе части равенства на и в качестве точки x возьмём любую точку промежутка дробления []

 

  =            затем суммируем по всем дроблениям

       в предельном переходе получим

 

 

 

Тем самым  мы показали, что (1)    (2)

4.2 Эквивалентность первого и третьего  определения:

  (3)

Из определения (1) следует определение (3) как свойство 8

Покажем, что из (3) вытекает определение (1):

   =>

      

 Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками

   До множим обе части равенства на и в качестве точки x возьмём любую точку промежутка дробления []

 

  , затем суммируем по всем дроблениям

 

  в предельном переходе получим :

, а так как  (по определению три) =>

 

мы показали, что (1) (3)

4.3 Эквивалентность второго  и третьего определения:

Воспользуемся свойством транзитивности эквивалентных функций

(1) (2) , (1) (3)  =>  (2) (3)

Тем самым мы показали, что все  три подхода к определению интеграла являются эквивалентными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Заключение

В работе рассмотрены различные  подходы к введению понятия определенного  интеграла. Показано, что теория интегрального исчисления может быть построена, если определенный интеграл ввести как предел интегральной суммы (1); разность первообразной функции f(x) на отрезке [a, b] (2); через верхнюю и нижнюю суммы Дарбу(3).

Теория интегрального исчисления с доказательствами свойств приведена для случая, когда определение интеграла, есть предел интегральных сумм. Эта теория подробно изложена в учебной литературе.

Можно построить теорию интегрального  исчисления, определяя интеграл как  разность первообразных f(x), или как равный предел верхней и нижней сумм Дарбу, при условии, когда максимальная длина дробления стремится к нулю.

В работе приводятся эти определения  определенного интеграла и построена  теория интегрального исчисления на основе определения (3), сформулированными  свойствами, некоторых из них доказаны.

В 4 параграфе доказывается, что  все три подхода к понятию  определенного интеграла эквивалентны, если определить определенный интеграл как предел интегральных сумм, то второе и третье понятия выступают как  свойства определенного интеграла; если определенный интеграл ввести как  разность первообразных, то первое и  третье определения будут свойствами в теории интегрального исчисления; если определенный интеграл ввести как  равный предел верхней и нижней сумм Дарбу то первое и второе определения будут свойствами в теории интегрального исчисления. В работе приводятся доказательства этих соотношений.

Независимо от приведенных подходов к понятию определенного интеграла  теория интегрального исчисления не меняется.

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

1) Бохан К.А. «Курс математического  анализа» том 1;

2)Райков Д.А. «Одномерный математический  анализ»;

3) Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального  и интегрального исчисления»  том 2;

4) Виленкин Н.Я. «Математический анализ. Интегральное исчисление»;

5) Шилов Г.Е. Гуревич Б.Л. «Интеграл,  мера и производная»;

6) Мордкович А.Г. «Алгебра и  начала анализа 10-11 класс».