Различные определения интеграла и их сравнение

Министерство образования  и науки РФ

Федеральное государственное  автономное образовательное учреждение 

высшего профессионального  образования

«Сибирский федеральный университет»

______________________________________________

 

Лесосибирский педагогический институт – филиал

федерального государственного автономного образовательного учреждения

 высшего профессионального  образования

 «Сибирский федеральный университет» 

 

 

Кафедра ВМ и И

 

 

 

Различные определения интеграла и их сравнение

(курсовая  работа)

 

 

 

 

 

 

Оценка_______________                                                                   Исполнитель:

Рецензент______________                                                                     студент 3 курса

Зав. кафедрой___________                                                   группы «ДЛМ08-01СФМ»

             физико-математического

                                                                        факультета

                                                                                               Мухамедзянов М. Р.

 

                                                                                                    Научный руководитель:

                                                                                      Бадуленко Л. Н.

Лесосибирск 2010

 

Оглавление:

Введение

1 Определение интеграла через  интегральные суммы.

1.1 Задачи, приводящие к понятию  определенного интеграла.

1.2 Определение определенного интеграла  через предел интегральной суммы.

1.2.1 Определение интегральной суммы.

1.2.2 Геометрический смысл определенного  интеграла.

1.2.3 Свойства определенного интеграла.

2 Определение определенного интеграла  через первообразную функции.

2.1 Определение определенного интеграла через первообразную функции.

2.2 Пример

3 Определение определенного интеграла  через суммы Дарбу.

3.1 Определение верхнего и нижнего  интеграла.

3.2 Определение определенного интеграла  через суммы Дарбу.

3.3 Свойства определенного интеграла.

4 Сравнение различных подходов  к теории интегрального исчисления.

4.1 Эквивалентность первого и  второго определения.

4.2 Эквивалентность первого и  третьего определения.

4.3 Эквивалентность второго и  третьего определения.

5 Заключение

6  Список используемой литературы

 

 

 

Введение

Интеграл (от лат. integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл –  одно из основных понятий математического  анализа – является мощным средством  исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

В этой связи изучение дифференциальных уравнений является важным вопросом. Существуют разные подходы к построению теории интегрального исчисления. Они  определяются различными подходами  к определению определенного  интеграла (через интегральные суммы; через первообразную; через суммы Дарбу).

В работе рассмотрены три  подхода к введению понятия определенного  интеграла, доказаны свойства определенных интегралов и эквивалентность определений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определение интеграла через интегральные суммы
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

а) Задача о пройденном пути.

Пусть известен закон изменения  мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = α до t = β. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток  времени на n произвольных интервалов

 

t₀ = α < t₁< t₂ < … < t_i-1 < t_i < … t_n-1 < t_n = β,

 

где t_i – t_i-1 = Δt_i. На произвольном участке [t_i-1, t_i] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(τ_i), t_i-1 ≤ τ_i ≤ t_i. Тогда за время Δt_i пройденный путь приближенно равен s_i = v(τ_i)Δt_i. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы  достаточно малы, то весь путь  приближенно равен сумме:

 

 

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного  промежутка времени.

3). Для получения точной  формулы пути перейдем к пределу,  увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим λ = Δt_i, тогда

 

б) Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.

Пусть скорость химического  превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция  времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t₀ до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:

 

 

в) Работа переменной силы.

Пусть материальная точка  под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = F_S.

Пусть теперь материальная точка  движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x₀<x₁<…<x_n = b на n частичных отрезков и положим: Δx_i = x_i – x_i-1, i = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через λ = maxΔx_i. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(τ_i)), что дает приближенное выражение для работы

 

,

 

где τ_i – одна из точек сегмента [x_i-1, x_i]. Отсюда:

 

 

г) Вычисление площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией .

 Для решения  этой задачи разделим произвольным образом  основание  фигуры точками на частей символом будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

 равно площади ступенчатой  фигуры, образованной прямоугольниками  , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована. не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при (слева) и при (справа)). При разница между и будет тоже стремиться к нулю, т.е. 

  .

 

1.2 Определение определенного интеграла  через предел интегральной суммы

Пусть на отрезке  задана функция . Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков выберем произвольную точку и составим сумму .

1.2.1 Определение интегральной  суммы

Определение: Сумма называется интегральной суммой, если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается

  . =

Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа и - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

В этом определении  предполагается, что  . Для других случаев примем, тоже по определению:

Если  , то ; если b≠а, то .

 

1.2.2 Геометрический смысл определенного  интеграла

Если  на отрезке , то равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией .

1.2.3 Свойства определенного интеграла

1. Линейность. Если функции , интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.

Док-во: для  любого разбиения отрезка и любого выбора точек  . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

2. Аддитивность. Если интегрируема по отрезку и точка принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство  аддитивности остаётся верным при любом  расположении точек, если только функция  интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

3. Интеграл от единичной функции ( ). Если , то .

Док-во. Если , то для любого разбиения

, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.

4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции , интегрируемы по отрезку , то .

Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

5. Теоремы об оценке интеграла.

5.а) Если на отрезке функция удовлетворяет неравенству , то .

Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.б) Если функция интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

6. Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее и наибольшее значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между и . Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если  непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием   и высотой (на рисунке выделен цветом).

7. Формула Ньютона-Лейбница.

а) Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Значение определённого интеграла  не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой , а буквой обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что - переменная, в результате интеграл будет функцией своего верхнего предела: .

если  интегрируема, то непрерывна.

Теорема об интеграле  с переменным верхним пределом. Если функция  непрерывна в окрестности точки , то в этой точке функция дифференцируема, и .