Расширение понятия числа

     Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.

    В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:

- иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;

- иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;

- число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называли иррациональным.

    Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, π = 3,141592…).

    Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила во второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи с потребностями математического анализа.

    Рациональные и иррациональные числа   на 3-ем уровне обобщения образовали действительные числа.

    Алгебраические и трансцендентные числа.

    Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и трансцендентные.

    Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например, , , 4, . Все остальные (неалгебраические) числа относятся к трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами  qx –p, то все трансцендентные числа иррациональны.

    Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных, рациональных, действительных) чисел: они моделируют только одно свойство – количество; они одномерны и все изображаются точками на одной прямой, называемой координатной осью.

    6.  Комплексные числа.

    Мнимые числа.

    Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой природы, открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , . Нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что· = -.

    Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался не употреблять.

    Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими, воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей, сущностью, находящейся между бытием и небытием».

    В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

    Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, что если взять действительное число b на положительной части координатной оси и умножить его на , то получим мнимое число b, неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на , то получим  -b, то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси. Итак,  двумя умножениями на мы перебросили число b с положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число было мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскости между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано, которые в общем виде a + b·i содержат действительные числа а и мнимые b·i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными числами.

    Это был 4-ый уровень обобщения чисел.

    Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII  и XVII веков была построена общая теория корней n-ных степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:

    С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

    Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:

,

    которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.

   Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

    7. Векторные числа.

    В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями.

    Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работы в 1843 году Гамильтон придумал таки  трехмерные числа a + bi + cj + dk, где i = j = k = и откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi  и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре). Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более удобные числа bi + cj + dk и назвал их векторными числами. Они и обобщили все предыдущие числа на 5-ом уровне обобщения.

   8. Матричные числа.

    Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.

    Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа. Это был 6-ой уровень обобщения чисел.

    Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемых величин.

    9. Трансфинитные числа.

    Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.

    Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами:Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число א0 (алеф-нуль – с иврита). Но множество א0 тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число א1 . И так далее…

    Такой красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом уровне. И до настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотило трансфинитные числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли еще применения за пределами самой математики. История с нулем и комплексными числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими можно моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил красивую, но мертвую теорию?

    Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные +  ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).

    10. Развитие функциональных чисел.

    История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел.  Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.

     Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т.д.

    Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики.

    Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей,  тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д.

    Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.

                                         Заключение

    Существует большое количество определений понятию «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

    В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

1. Показано, что современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.2. При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства: правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям; новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения. 3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

                                         Список литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.