Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике

      O                                                                                    Q

                                                                                                                                                  Впрочем, описанная «спираль» не всегда «скручивается». В некоторых случаях она может и «раскручиваться», как показывает, например, рис. 4.

От каких свойств функций и зависит сходимость или расходимость описанной выше «спирали»? Этот вопрос очень сложен. Поэтому, укажем лишь один фактор, влияющий на сходимость – эластичность (спроса, соответственно, предложения).

Рис. 4.

Балансовые соотношения

Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая их которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

- общий объем продукции -й отрасли (ее валовой выпуск);

- объем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции ;

- объем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление, удовлетворение общественных потребностей и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой продукт -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме балансовые отношения имеют вид

,                                                                       (25)

Уравнения (25) называются соотношениями баланса.

Линейная модель многоотраслевой экономики

В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед Второй Мировой Войной, был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции -й отрасли объема нужно использовать продукцию -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности,

;                                                                                                   (25)

Тогда уравнение (25) можно переписать в виде системы уравнений:

                                                                                    (26)

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

                                                                      (27)

Тогда система уравнений (26) в матричной форме имеет вид

                                                                                                                                            (28)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (27) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравнений (28) с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система (28) имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.

Продуктивные модели Леонтьева

Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (28) – вектор , все элементы которого неотрицательны.

Для уравнения типа (28) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Теорема. Если для матрицы с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнения (28) имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (28) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица была продуктивной. Перепишем систему (28) с использованием единичной матрицы в виде

.                                                                                                                                            (29)

Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения (29)

.                                                                                                                              (30)

Матрица называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы .

Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превышает единицы:

,                                                                                                                                            (31)

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложном примере.

Пример 1. Таблица 1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30.

Таблица 1.

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (25) и (27),

Матрица удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица не изменяется. В таком случае компоненты , , неизвестного вектора находятся из системы уравнений, которая, согласно (26), имеет в данном случае вид

В матричной форме эта система выглядит следующим образом:

, или               ,

где матрица имеет вид             

Отсюда расчитывается новый вектор как решение этого уравнения баланса:

.

Найдем обратную матрицу (матрицу полных затрат) , с использованием формулы

                                                                                    (32)

Определитель матрицы               ,

так что обратная матрица и решение указанной системы уравнений существуют. Вычисление обратной матрицы дается с точностью до третьего знака:

.

Заметим, что найденная обратная матрица удовлетворяет первому критерию продуктивности матрицы .

Теперь можно вычислить вектор валового выпуска :

.

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на , уровень энергетики – на и выпуск машиностроения – на по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 1.

Динамическая модель Леонтьева

Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал и «одномоментными». В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период . Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д.

С учетом этого система уравнений баланса, в предположении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будет иметь следующий вид

                                                                                    (33)

Соотношения (33) составляют систему линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами .

Как и прежде, введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Тогда систему (33) можно переписать в матричной форме:

.                                                                                                                (34)

Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе конечного потребления и матрице определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска .

Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели Леонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени . Эту задачу можно решить при помощи формулы:

.                                                                                                  (35)

Пример 2. Обратимся к данным табл. 1. Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице:

Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за каждый период.

Решение. Вектор конечного потребления, согласно условию задачи, имеет вид

.

Применяя формулу (33), получаем               .

Теперь нужно вычислить матрицу изменяя состояния и вектор и подставить их в это уравнение. Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи:

              .

Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потребления необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового выпуска соответственно на , и по сравнению с исходными величинами на начальный момент времени.

21

                                                     Заключение

В контрольной работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, электрические колебания в проводах, распространение тепла в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве, дифракция излучения на сферической частице.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной дипломной работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее  точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

21

Список литературы:

1.            А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов – Математика в экономике - М: Финансы и статистика, 2002