Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

Альметьевский  государственный  нефтяной  институт

Кафедра высшей математики

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

(Реферат)

по курсу « Высшая математика »

на тему « Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике »

                                                                              Выполнила  студентка: гр. 48-81

                                                                  Загородская Т.С.

                                                                   Преподаватель: Ларина Л.Н.

                          Дата выполнения  работы

                                                                              «____»____________2009

Альметьевск 2009г.

21

Содержание

Введение …………………………………………………………………………3

Понятие о разностных уравнениях……………………………………………..4

Модель рынка с запаздыванием сбыта…………………………………………5

Рыночная модель с запасами……………………………………………………7

Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса………………………………….9

Паутинные модели рынка………………………………………………………10

Балансовые соотношения ……………………………………………………....12

Линейная модель многоотраслевой экономики……………………………….13

Продуктивные модели Леонтьева………………………………………………15

Динамическая модель Леонтьева……………………………………………….18

Заключение……………………………………………………………………….21

Список используемой литературы……………………………………………...22

21

                                                           Введение

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция U + V при любых постоянных  и  снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного  дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Целью данной контрольной работы является рассмотрение основных направлений использования дифференциальных уравнений в экономике.

21

Понятие о разностных уравнениях

Уравнение вида:              ,                                             (1)

где - фиксированное число, а - произвольное натуральное число, - члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением -го порядка.

Решить разностное уравнение означает найти все последовательности , удовлетворяющие уравнению (1). Разностные уравнения часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида              ,              (2)

где - некоторые функции от , называется линейным разностным уравнением -го порядка.

В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим это для разностных уравнений второго порядка:

.                                                                                             (3)

Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3) определяется по формуле:

,                                                                                                                      (4)

где - некоторое частное решение уравнения (3), - общее решение соответствующего однородного уравнения (случай ). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо сначала решить характеристическое уравнение

                                                                                  (5)

После этого могут возникнуть варианты:

1)              Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:

,                                                                                              (6)

где и - произвольные константы.

2)              Оба корня действительны и равны , тогда

.                                                                                                                (7)

3)              В случае комплексно-сопряженных корней

.                                                                                                  (8)

Модель рынка с запаздыванием сбыта

В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:

                            .                                          (9)

Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара: , откуда с учетом (9) имеем

или .

Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:

.                                                                                                                (10)

Пусть тогда .

Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (10) удобно искать в виде постоянной величины:

; .

После подстановки в это уравнение оно легко определяется:

.                                                                                                                                            (11)

Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (10) определяется формулой

,                                                                                                  (12)

где - произвольная величина.

Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (12) находим

или , так что в окончательном виде получаем

или .                            (13)

Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи и формул (9) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта:

1)              - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее;

2)              - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;

3)              - две точки равновесия: в зависимости от четности имеет место колебание от одной точки к другой.

                                                                                    а                           

                                                                                    б             

                                                             в

                  0          1          2           3           4          

Рис. 1

Рыночная модель с запасами

В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения.

1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены :

.                                                                      (14)

2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличиИ запаса цена на товар в последующий период падает):

.                                                                                                  (15)

Подстановка соотношений (14) в (15) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :

или

.                                                                                    (16)

Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (16) удобно искать в виде постоянной величины:

              .

Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения (16) Общее решение уравнения (10) определяется формулой

.

Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид

или .(17)

Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в (17) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:

1)              , откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ;

2)              , откуда , т.е. ;

3)              , откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;

4)              , т.е. - две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена «перескакивает» с одного значения на другое;

5)              , т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний.

                                                                                                                а

                                                                                                                б

                                                                                                                в

                                                                                                                г

                                                                                                                д

       0           1           2          3          4           

Рис.2

Модель делового цикла Самуэльсона – Хикса

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла Самуэльсона – Хикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением

,                                                                                                                (18)

где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что

.                                                                                                                              (19)

Условие равенства спроса и предложения имеет вид:

.                                                                                                                              (20)

Подставляя в (20) выражение для из (18) и выражение для из (19), находим:

.                                                                                    (21)

Уравнение (21) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины и постоянны).

Замечание. Можно легко найти частное решение уравнения (21), если предположить, что

,                                                                                                  (22)

т.е., использовав в качестве частного решения равновесное решение . Из (21) в силу (22) имеем

,                                                                                                                (23)

откуда              .                                                                                                                              (24)

Заметим, что выражение в формуле (24) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.

Паутинные модели рынка

Свойство непрерывной функции (теорема о существовании корня) находит неожиданное применение в математических моделях рынка. Как известно, две основные категории рыночных отношений – спрос и предложение. И то и другое зависят от многих факторов, среди которых главный – это цена товара. Обозначим цену товара , объем спроса , величину предложения . При малых имеем (спрос превышает предложение), при больших , наоборот, . Считая и непрерывными функциями, приходим к заключению, что существует такая цена , для которой , т.е. равен спрос равен предложению. Цена называется равновесной, спрос и предложение при этой цене  также называются равновесными.

Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены – так называемую паутинную модель. Она объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен.

Предположим, что решение о величине объема производства принимается в зависимости от цены товара в предыдущий период времени.

Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3.

Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение и выбрано так в зависимости от цены товара в предыдущий период. Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спроса ей соответствует объем покупок . Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опустить цену товара до величины . Цена ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины . На кривой предложения этой величине соответствует цена предложения и т.д. В этом случае спираль сходится к точке рыночного равновесия . Рис. 3: