Понятие метрического пространства

             

Рассмотрим два многочлена (тождественно не равных)

                                                     и   

Найдем  и :

,

.

Итак многочлены совпадут только в одной точке x=0, т.е. = , но при этом  .

Аксиома тождества не выполнена, а значит, данная формула  не задает метрики.

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

7.([ 4 ], №2.3)

 

              Пусть М- любое множество. Положим 

Доказать, что    метрика на М.

              Решение.

.

              Для решения нам необходимо  доказать выполнение трех аксиом  метрического пространства.

1. Из условия видим, что .
2. При  , ,

при  , .

   3)  Для доказательства выполнения аксиомы треугольника, рассмотрим все возможные случаи совпадения и несовпадения точек:

1. ,  , 

   , , 

   , 1 ≤ 1+1,  1 ≤ 2.

2. ,  , 

, , 

, 0 ≤ 1+1,  0≤ 2.

3. ,  , 

     , , 

, 1≤ 1.

4. ,  , 

     , , 

, 1 ≤ 1,  1≤ 1.

5. ,  , 

     , , 

, 0 ≤ 0.

Аксиома треугольника выполняется, а значит

   есть метрика на М. А М это любое множество с метрикой (М, ρ).Т.е. множество М с метрикой (М, ρ), является метрическим пространством. Такое пространство называется пространством изолированных точек.

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.([3], №122)

 

              Является ли метрическим пространством  множество всех непрерывных функций,  заданных на сегменте , если расстояние между любыми двумя функциями и определить формулой

                                .

              Решение

               , а значит , .

1. Пусть   , значит, и .

Пусть , тогда ,

(по основному свойству интеграла (приложение4(8)))  .            .

Аксиома тождества выполнена.

              2. -

аксиома симметрии выполняется.

              3.

  по неравенству  Минковского (приложение2)

= , получим

аксиома  треугольника выполнена, а значит, данное множество  является метрическим пространством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. ([ 3 ], №111)

 

              Доказать, что множество всех  функций, ограниченных на сегменте  ( не только непрерывных), образует метрическое пространство, если за расстояние между двумя элементами      и этого множества принять число : .

              Решение:

≥0  =>  ≥0  => ≥0      .

 

              Докажем выполнение трех аксиом (аксиом метрического пространства).

1. Аксиома тождества

Пусть , тогда   =>  , а значит, и .

              Пусть  , тогда по определению метрики данного пространства

. По свойству супремума:  - есть наименьшая из верхних границ для всех элементов ,где ,  поэтому , 

    ,  ,

=> . Аксиома тождества выполняется.

2. Аксиома симметрии.

              .

.

Аксиома симметрии выполняется.

 

 

3. Аксиома треугольника.

  это следует из ограниченности функции (приложение5(9)).

 по определению метрики.

При условии ограниченности , выполняется условие    при ,  а значит и для    выполняются те же условия.

Аксиома треугольника выполняется.

Данное множество образует метрическое пространство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ([ 3 ], №114)

 

              Дано множество всех числовых последовательностей , обладающих тем свойством, что сумма квадратов их членов сходится.

Доказать, что оно образует метрическое пространство, если под  расстоянием между двумя последовательностями и подразумевать число .

 

              Решение.

 

 ≥ 0    =>  ≥ 0 .

 

              Из сходимости рядов нам известно, что ряд сходится всегда, когда сходятся ряды и . Это следует из теоремы о сравнении рядов. (приложение3 (6),(7)).

Из теоремы о сравнении  рядов так же следует сходимость ряда   

              Проверим выполнение аксиомы  метрического пространства.

1. Аксиома тождества.

Пусть =>    =>     =>    =>      =>    .

Пусть .

   => ≥0,           - аксиома тождества выполняется.

2. Аксиома симметрии

                  .

Аксиома симметрии выполняется.

3. Аксиома треугольника.

              по неравенству Минковского.(приложение2)

  или

  , то есть аксиома треугольника выполняется, а значит, заданное множество, образует метрическое пространство.

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. ([3], №115)

 

  Доказать, что множество  всех непрерывных на  функций образует метрическое пространство, если под расстоянием между двумя элементами этого множества   и   подразумевать число:

                          .

Это пространство мы будем  обозначать .

           

  Решение:

 

             Возьмем две функции, непрерывные  на [ɑ,b] ,

 ∀x∈ [ɑ,b]    ,     по основному свойству интеграла (приложение4 (8))  | | ≥ 0,  ≥ 0.

Интеграл от неотрицательной суммы – неотрицателен, а значит, неотрицательно.

 

 

 Множество функций  является метрическим пространством, если

 удовлетворяет трем аксиомам (аксиомам метрического пространства).

           

  Докажем, что все  три аксиомы выполняются.

 

1. Аксиома тождества.

Пусть     =>      =>   =>    ∀x∈ [ɑ,b]    ,  а значит,  .

 

Пусть , , тогда по основному свойству интеграла (приложение4 (8))       , а следовательно (по свойству модуля),        ∀x∈ [ɑ,b] ,  

а значит, аксиома тождества  выполняется.

 

2. Аксиома симметрии.

                   ∀x∈ [ɑ,b].   

Т.е.  .

Аксиома симметрии выполняется.

 

3. Аксиома треугольника.

 

(по свойству модуля).   по свойству интеграла

если   f1(x) ≥ f2(x).

Получили :

(по свойству непрерывных функций  (приложение4 (8’))).

 

Из определения метрики следует: .

 

Аксиома треугольника выполняется.

              Итак, все аксиомы выполняются  для этой функции, а значит, данное множество образует метрическое  пространство.