Понятие метрического пространства

ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

           

  Пусть Х произвольное непустое  множество. Говорят, что на  Х задана метрика (расстояние), если каждой паре элементов х,у Х поставлено в соответствие единственное неотрицательное число ρ(х,у), удовлетворяющее следующим трем условиям (аксиомам метрического пространства) :

1. х=у  тогда и только  тогда, когда  ρ (х,у)=0 (аксиома тождества);
2.   (ρ(х,у)=ρ(у,х)) (аксиома симметрии);

                     

3. (ρ(х,у)+ρ(у,z)≥ρ(х,z))(аксиома треугольника).

Пара (Х, р) т.е. множество  Х с заданной на нем метрикой называется  метрическим пространством.

              Если  (Х, ρ) – метрическое пространство и А Х, то пара (А, ρ), где ρ(х,у) расстояние между точками х,у А равно расстоянию между этими точками в пространстве (Х, ρ), также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (Х, р). 

           

Рассмотрим некоторые примеры  метрических пространств. позже, в разделе «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ», некоторые из них будут рассмотрены подробнее, с доказательством.

 

              1. На любом непустом множестве  Х можно определить метрику следующим образом:         

                                      ρ(х,у)=      

 

              Такое пространство называется  пространством изолированных точек.

              2. Пусть Х – множество действительных  чисел. В качестве расстояния между точками возьмем функцию

                                             ρ(х,у)=│х-у│.

              Справедливость аксиом метрического  пространства вытекает из свойств  функции абсолютная величина  числа. Полученное метрическое  пространство называется одномерным арифметическим пространством или числовой прямой.

              3. Множество оставим прежним, а метрику определим иначе                                  . Полученное пространство обозначают .

              4. Воспользуемся множеством всех функций, непрерывных на отрезке . Расстояние между двумя его элементами будем вычислять по формуле                        │f(x)-g(x)│.           

 

              Получили пространство непрерывных на [a,b]  функций (обозначается ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

 

5. Арифметическое евклидово пространство.   

              Множество R с метрикой

 

                      

является метрическим  пространством. Действительно, рассмотрим любые три элемента из множества R :

                                   

              Тогда:

              1)

                                         

              2)     

              3)  Перейдем к проверке третьей аксиомы:     

                          =

              По неравенству Минковского      (приложение 2,(3)) ,

                  ρ(x,y)= ,

              то есть аксиома действительно  выполняется. Таким образом ,

                  - метрическое пространство.

 

      6.      Множество непрерывных на отрезке функций С с метрикой  является метрическим пространством.

Если f=g, то очевидно, что ρ(f,g)=0. Наоборот, если p(f,g)=0, то  по определению метрики и для данного пространства:

                          

Так как  , то функции f и g равны друг другу на . Аксиома тождества выполняется.

              - аксиома симметрии.

 

аксиома симметрии тоже выполняется.

                - аксиома треугольника.

              Для любых трех функций : в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство:

.

              Возьмем максимальное значение

               и максимальное значение  :

              Так как на отрезке  для любых двух функций

( положим           )

в силу определения наибольшего  значения, имеет место неравенство

               ,

а следовательно , то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.

             

Получим:

.

              А значит:

.

Все аксиомы выполняются.

              На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например: , полученное метрическое пространство обозначается .

 

             7.  Пространства числовых последовательностей.

            

              Рассмотрим множество числовых  последовательностей вида:

, удовлетворяющих условию  .

              Если на этом множестве ввести расстояние ,

То получим метрическое пространство, которое обозначают  .

Ряд: сходится, если сходятся ряды , (приложение3, (6),(7)), а значит

введенная метрика имеет  смысл для любых последовательностей 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

 

1. ( [3], №116)

          

              Является ли метрическим пространством  множество  всех вещественных  чисел, если под расстоянием  между двумя числами x и y подразумевать число .

              Решение.

  .

              Проверим выполнение аксиом метрического  пространства:

1. Аксиома тождества

              . Пусть , тогда , а следовательно, при

                                         ,

следовательно, , при любых , кроме =0. 

Аксиома тождества не выполняется, а значит, заданное множество  не является метрическим пространством.

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.([4], №2.8)

 

             На множестве  задана метрика ρ такая, что

Какие значения может принимать  ?

              Решение.

.

         Требуется  выполнение аксиомы треугольника, т.е.: .

Из условия известно, что  , получим .

Итак, может принимать значения меньше либо равное  двум, с учетом что , т.е. может принимать значения на [0;2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.([ 4 ], №2.13)

 

              Пусть М – множество всех  населенных пунктов на левом  берегу Волги. Расстояние  от пункта   x  до пункта y будем измерять временем движения от х до у теплохода, имеющего собственную скорость 20 . Образует ли М- метрическое пространство?

              Решение.

≥0 (т.к. время всегда неотрицательно).

  X ______________Y   Предположим, что теплоход, двигаясь из пункта  х

                 S                 к пункту   у, идет по течению реки, а из пункта у  в х–

против течения. В первом случае скорость его будет равна сумме  скорости течения реки и собственной  скорости теплохода, а во втором случае – собственная скорость минус  скорость течения реки. Обозначим  собственную скорость теплохода , а скорость течения реки . Расстояние   будем измерять временем движения. Получим:

                                      ,

                                      .

              Видим, что,  следовательно, не имеет смысла проверять выполнение аксиом тождества и треугольника, т.к. не выполняется аксиома симметрии. Значит, данное множество М не образует метрического пространства.

 

 

4.([3], №120)

              Пусть Е- множество всех точек  на окружности С; примем в  качестве расстояния между двумя  точками  и длину кратчайшей дуги окружности С, соединяющей точки х и у. Является ли Е метрическим пространством?

              Решение

              Рассмотрим два случая:

I . А,В,С – на одной половине окружности  II. А,В,С – на разных  половинах окружности         

            B              C                                                           B

           A                              A              C

                Рис. 1                                                                                           Рис. 2               

1)                                         1)

аксиома тождества выполняется                    аксиома тождества 

                                                                                    выполняется

 

     

  2) как длина кратчайшей дуги 2) аналогично случаю I

                                                                                    

По свойству дуг:

Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.                                                                         

Хорда AC > AB Хорда AC > AB

           AC > BC AC > BC

                      Равные дуги стягиваются равными хордами.

3)                             3)

В обоих случаях выполняются  все аксиомы, а значит, Е является метрическим пространством.

5.([4], №2.6)

 

              Является ли метрикой на  функция ρ, если ; ? Удовлетворяет  ли ρ аксиоме треугольника?

              Решение.

              1.По аксиоме симметрии

из условия видим, что  а , следовательно,

аксиома симметрии не выполнена. А значит, функция ρ не является метрикой на .

              Проверим выполнение аксиомы  треугольника.

, с другой стороны  .

Таким образом  .

 

Рассмотрим всевозможные случаи совпадения и несовпадения метрик, которые задают функцию:

1. ≤

, , , 2≤1+2;

2. ≤

, , , 1≤2+1;

3. ≤

, , , 2≤2+2;

4. ≤

, , , 2≤2+2;

5. ≤

, , , 1≤2+1;

6. ≤

, , , 2≤1+2;

Аксиома треугольника выполнена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.([4], №2.14)

 

              Задает ли метрику на пространстве  многочленов формула 

                                    .

              Решение.

=> (по определению модуля).

1. Проверим аксиому тождества.

Пусть , тогда для , , а значит при ,