Оператор Лапласа

 

5) решение интегральных уравнений Вольтера с ядрами специального вида.

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую  функцию под знаком интеграла. Например, решение задачи Коши

 

сводится к решению  следующего интегрального уравнения:

 

Уравнение вида

 

с ядром , зависящим лишь от разности аргументов, представляет собой важный класс уравнений Вольтерра. Они иногда называются уравнениями типа свертки.

Пусть имеем интегральное уравнение  Вольтерра типа свертки 

Предположим, что  достаточно гладкие функции и имеют конечный порядок роста при . В этом случае и при имеет конечный порядок роста, а значит, может быть найдено изображение функции , (по Лапласу). Пусть . Применяя к обеим частям (20) преобразование Лапласа и пользуясь формулой свертки, будем иметь

 

откуда

 

Для находим оригинал – решение интегрального уравнения (20).

Аналогично решаются интегральные уравнения Вольтерра первого  рода с ядром , зависящим только от разности , т.е. уравнения вида

 

где – известная функция, – искомая функция. При этом мы предполагаем

Пусть . Применяя кобеим частям (21) преобразование Лапласа и используя теорему о свертке, получим

 

откуда

 

Оригинал для  будет решением интегрального уравнения (21).

Указанный метод решения уравнений (20), (21) приложим также к системам интегральных уравнений Вольтерра вида 

Применяя к обеим частям (22) преобразование Лапласа, получим 

 

Решая эту систему уравнений, линейную относительно , найдем , оригиналы для которых и будут решением исходной системы интегральных уравнений (22)  [5].

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА II. Применение операционного исчисления к

решению задач

1. Нахождение изображения функции по известному

оригиналу

 

Пример 16. Найти изображение  функции .

Решение. Так как . Найдем

 

Пример 17. Найти изображение , если

Решение. По формуле 8 таблицы

 

Найдем  Согласно свойству дифференцирования интеграла

 

Пример 18. Найти изображение  функции 

Решение: Преобразуем функцию  :

 

Найдем её изображение:

 

Пример 19. Найти изображение  функции 

Решение: т.к. , то

 

Применяя формулу 8 из таблицы, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Нахождение оригинала по известному изображению

 

Пример 20. . Найти оригинал .

Решение. Для нахождения оригинала воспользуемся свойством умножения и тем, что

 

Имеем

 

 

Пример 21. Найти оригинал для функции 

Решение. Представим изображение  в виде

 

Применяя формулы 7, 13 таблицы, находим оригинал

 

Пример 22. Найти оригинал для функции

 

Решение. Найдем оригинал функции

 

По теореме интегрирования оригинала получаем

 

 

Пример 23. Найти оригинал функции

 

Решение. Найдем оригинал функции, используя первую теорему разложения. Лорановское разложение функции в окрестности удаленной точки, используя типовые разложения

 

есть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычисление  интегралов

 

Пусть и пусть сходится несобственный интеграл . Тогда

 

где интеграл можно вычислять  по положительной полуоси.

Пример 24. Вычислить интеграл

 

Решение. По формуле

 

Пример 25. Вычислить интеграл

Решение. Для , рассматриваемого как функция аргумента , по теореме подобия имеем

 

Поэтому

 

Подынтегральная функция, как функция аргумента , допускает представление

 

Следовательно,

 

Переходя к функциям-оригиналам, получим окончательно

 

Пусть нужно вычислить  интеграл который является интегралом, зависящим от параметра . Обозначим его и пусть , то 

Изменение порядка интегрирования часто дает возможность довести  задачу до конца: найти изображение интеграла , а затем сам оригинал .

Пример 26. Вычислить интеграл

 

Решение. Его изображение  примет вид

 

Изменим порядок интегрирования

 

Итак,

 

Пример 27. Доказать

 

Решение. Найдем изображения  подынтегральных функций по переменной и сравним интегралы от них. Имеем

 

 

Во втором случае имеем

 

 

Видно, что , равенство доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Решение дифференциальных уравнений

 

Пример 28. Найти решение задачи Коши:

 

Решение. Пусть  Тогда:

 

 

 

Операторное уравнение примет вид

 

откуда

 

Применяя формулы 1, 12 из таблицы, находим оригинал для функции  :

 

Пример 29. Найти решение дифференциального уравнения

 

Решение. Пусть  Тогда:

 

 

 

Операторное уравнение примет вид

 

откуда

 

Найдем оригинал методом  неопределенных коэффициентов.

Разложим функцию  в сумму простейших дробей:

 

 

Отсюда

 

 

Получаем систему

 

Решая систему получаем . Следовательно,

 

По формулам 1, 2, 4, 5, 12 таблицы  находим оригинал:

 

 

 

 

 

 

5. Решение систем дифференциальных уравнений

 

Пример 30. Найдите решение системы дифференциальных уравнений

 

при начальных условиях .

Решение. 1) обозначим через  изображения неизвестных функций и . Пользуясь линейностью преобразования Лапласа и формулами 1, 29 таблицы, перейдем к операторным уравнениям

 

2) Решим полученную систему линейных уравнений относительно . Для этого выразим из второго уравнения и подставим в первое:

 

После раскрытия скобок и  приведения подобных членов приходим к равенству

 

Откуда

 

 

 

Раскрывая в числителе  скобки и приводя подобные члены, получаем

 

3) От полученных изображений переходим к их оригиналам . Найдем оригиналы методом неопределенных коэффициентов.

Разложим функцию  в сумму простейших дробей:

 

 

Отсюда

 

Получаем систему

 

Решая систему получаем Следовательно,

 

По формулам 1, 2 таблицы  и свойству линейности находим оригинал:

 

Аналогично находим оригинал :

 

Пример 31. Решить систему уравнений

 

 

 

 

Решение. Переходя к операторной  системе, получим

 

где

 

Решая последнюю систему  относительно получим

 

 

 

Находя оригиналы для , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Решение дифференциальных уравнений с помощью 

интеграла Дюамеля

 

Пример 32. Найти решение дифференциального уравнения

 

с начальными условиями .

Решение. Сначала необходимо найти решение  уравнения . Переходя к изображениям получаем уравнение :

 

оно имеет решение

 

 Отсюда .

Применяя интеграл Дюамеля, получаем

 

 

 

7. Решение интегральных уравнений и систем

интегральных  уравнений

 

Пример 33. Решить интегральное уравнение

 

Решение. Переходим к изображениям и рассматривая интеграл как свертку  функций, получим на основании правила  изображения свертки

 

откуда

 

Находя оригинал для , получим решение интегрального уравнения (9)

 

Пример 34. Решить интегральное уравнение

 

Решение. Перейдем к изображениям

 

 

Получаем окончательный  ответ

 

Пример 35. Решить систему интегральных уравнений

 

Решение. Переходя к изображениям и используя теорему о свертке, получим

 

откуда

 

Находим оригиналы для :

 

 

Система функций  является решением исходной системы интегральных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

С помощью операционного  исчисления можно находить решения  линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, систем дифференциальных уравнений, вычислять интегралы, решать интегральные уравнения, системы интегральных уравнений. При  этом решение этих задач значительно упрощается.

В результате проведенной  работы можно сделать следующие  выводы:

1. Благодаря преобразованию Лапласа можно решить задачи, содержащие сложные функции, используя более простые функции. Для этого необходимо перейти к их изображениям. Затем произвести над ними операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями. И, получив  некоторый результат при действиях над изображениями, возвратится к самим функциям.
2. Операционный метод позволяет вычислять интегралы, которые раньше не умели вычислять по формуле Ньютона – Лейбница.
3. Классический метод решения уравнений и систем дифференциальных уравнений высших степеней связан с трудностью решения характеристического уравнения. К тому же нахождение частных решений очень трудоемко. Операционный метод приводит к алгебраическому уравнению первой степени, что существенно упрощает вычисления.

Исследования по данной теме можно продолжить, если рассмотреть  вопросы о решении дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений), производить суммирование рядов. При этом решение этих зада значительно упрощается, если применить операционное исчисление.

 

 

 

Литература

 

1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. – 416 с.
2. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. 2-е изд./Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2002. – 228 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. II. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк. 1986. – 415 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральное преобразование и операционное исчисление. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. – 524 с.
5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Учебное пособие, 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. Письменный. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 608 с.
7. Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения: Учебное пособие – СПб, 2000. – 65 с.
8. Штокало И.З. Операционное исчисление (обобщения и приложения). – Киев: Наукова думка. Редакция физико-математической литературы, 1972. – 304 с.
9. Эйдерман В.Я. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 256 с.
10. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лаплас, Пьер-Симон.

 

Приложение

 

Таблица оригиналов и изображений

 

№№	Оригинал	Изображение
11	1
22
33	t
44
65
66
77
88
99
110
111
112
113	()
114
115
116
117
118
119
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
330		…
331
332
333
334
335