Оператор Лапласа

6. Дифференцирование  изображения.

Если , то

 

 

.................................,

 

…………………...,

т.е. дифференцированию изображения  соответствует умножение его  оригинала на

Пример 5. Найти изображение функции

Решение. Так как , то в силу свойства дифференцирования изображения, имеем т.е.

Далее находим  , т.е. . Продолжая дифференцирование, получим

 

Учитывая свойство смещения, получаем

 

Согласно формуле  Следовательно,

 

т.е. или

 

Аналогично находим 

 

С учетом свойства смещения и формул и , получаем

 

 

7. Интегрирование  оригинала.

Если  т.е. интегрирование оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на p.

8. Интегрирование  изображения.

Если  и интеграл сходится, то , т.е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Пример 6. Найти изображение функции ; найти изображение интегрального синуса .

Решение. Так как . Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем

 

9. Умножение изображения.

Если , то

 

Интеграл в правой части формулы (7) называется сверткой функции и и обозначается символом , т.е.

 

Можно убедиться (положив  ), что свертывание обладает свойством переместительности, т.е.

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т.е.

 

 Пример 7. Найти оригинал функции

 

Решение. Так как

 
получаем, что

 

Аналогично получаем,

 

Следствие 2. Если также является оригиналом, то

 

Формула (8) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу  Дюамеля можно записать в виде

 

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

10. Умножение оригиналов.

Если , то

 

где путь интегрирования –  вертикальная прямая [6, 9]

                 Рис. 4

 

4. Обратное преобразование Лапласа

 

Теорема 1. Если функция в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

 

то функция

 

(при ) является оригиналом, имеющим изображение , т.е.

 

Пример 8. Найти оригинал , если

 

Решение. Имеем

 

Следовательно, на основании  теоремы 1

 

Теорема 2. Если   – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни (нули) то функция  

является оригиналом, имеющим  изображение 

Теорема 3. Если выражение является дробно-рациональной функцией от   – простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал , соответствующий изображению , определяется формулой

 

Можно сказать, что если   – правильная дробь, но корни (нули) знаменателя имеют кратности соответственно, то в этом случае оригинал изображения определяется формулой 

Общий способ определения оригинала  по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана – Меллина), имеющее вид

 

где интеграл берется вдоль  прямой

При определенных условиях интеграл (11) вычисляется по формуле

 

Замечание. На практике отыскание функций – оригинала обычно проводят последующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию  стараются представить в виде простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойствами линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример 9. Найти оригинал по его изображению

 

Решение. Пользуясь свойством линейности и формулами  и , получаем

 

Если использовать теорему 2 разложения, то будем иметь:

 корни знаменателя

и, согласно формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Возможные применения операционного метода

 

1)  нахождение оригинала по известному изображению.

1.1) Дробь разлагается в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов. После этого изображение каждого слагаемого находится по таблице оригиналов и изображений [7].

Пример 10. Найти оригинал функции

 

Решение. Разложим знаменатель на множители. Уравнение имеет корни и ; уравнение действительных корней не имеет. Таким образом,

 

Разложение данной дроби  имеет вид:

 

Приведем правую часть  к общему знаменателю и отбросим знаменатели, одинаковые у получившихся дробей:

.

Из этого равенства  находим неопределенные коэффициенты A, B, M, N. Для этого раскрываем скобки в правой части, группируя слагаемые с и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частях получившегося равенства. Получим систему:

 

Решая эту систему получаем следующее значение коэффициентов:

Получили разложение дроби  в сумму простейших:

 

Пользуясь свойством линейности и формулами 2, 4, 5, находим оригинал :

 

1.2) Второй способ нахождения оригинала по известному изображению основан на использовании теорем разложения.

Пример 11. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как

 

Решение. Здесь простой корень знаменателя, 3-кратный корень .

Используя формулы (9) и (10), имеем:

 

 

т. е.

1.3)  Используя свойства преобразования Лапласа. Рассмотрим предыдущий пример.

Пример 12. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как

 

Решение: Представим как произведение и так как и , то, пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

 

 

2) решение дифференциальных уравнений

Одним из важнейших применений операционного исчисления является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентами, т.е. уравнения вида

…

где – заданные числа (коэффициенты уравнения), – заданная функция и – искомая (неизвестная) функция. Требуется решить задачу Коши, т.е. найти решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

 

где – произвольные заданные числа.

Предположим, что правая часть  есть функция-оригинал. Основные этапы решения задачи операционным методом:

1. Перейти от функций к их изображениям .
2. Используя свойство линейности преобразования Лапласа и теорему о дифференцировании оригинала, перейти от уравнения (12) относительно оригинала к уравнению относительно изображения :

 

Уравнение  (14) называется изображающим или операторным уравнением. Оно оказалось проще исходного уравнения (12), так как является линейным алгебраическим уравнением относительно .

3. Решить уравнение (14) относительно . С этой целью члены уравнения, содержащие , оставляют слева, а остальные переносят в правую часть:

 

Обозначим множитель  через :

 

Это характеристический многочлен  линейного дифференциального уравнения. Правую часть уравнения (15), за исключением слагаемого , обозначим через . является многочленом степени . Теперь уравнение (15) примет вид

 

откуда

 

Если начальные условия  нулевые, т.е. ….

4. От найденного изображения перейти к оригиналу , который и является решением задачи Коши.

Пример 13. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Согласно формуле 4 таблицы, . Пользуясь соотношениями 29, 30 таблицы, перейдем к операторному уравнению

 

откуда,

 

 

Полученное изображение является дробно-рациональной функцией, у которой степень числителя строго меньше степени знаменателя. Оригинал данной функции был найден в примере 11.

 

Полученная функция-оригинал является решением дифференциального уравнения лишь при , поскольку любая функция-оригинал равна нулю при . Но по теореме о существовании и единственности решения задачи Коши функция будет решением на всей числовой прямой, если ее определить по формуле (17) и при .

3)  применение интеграла Дюамеля в решение дифференциальных уравнении.

 Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение (12) с постоянным коэффициентом  при нулевых начальных условиях. Покажем, что если известно решение уравнения

 

с той же левой частью, что и в (12), и также при нулевых начальных условиях, то интеграл Дюамеля позволяет выписать решение уравнения (12). Для этого необходимо перейти от уравнений (12), (18) к соответствующим операторным уравнениям. Имеем , и в силу формулы     таблицы . Поскольку начальные условия нулевые, то функция в (16) равна нулю. Из (16) получаем

 

откуда  Теперь, применяя формулу Дюамеля (8), получим

 

Так как , то  

Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле Дюамеля, применяют в тех случаях, когда  возникают трудности при нахождении изображения правой части уравнения (12). Формула (19) удобна также, когда требуется решить несколько дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями и одинаковыми левыми частями, но различаются правыми частями .

Пример 14. Используя интеграл Дюамеля, найти решение дифференциального уравнения

 

удовлетворяющее начальным  условиям

Решение. Применение интеграла Дюамеля в данном случае вызвано тем, что таблица не содержит изображения правой части уравнения. Решение состоит из следующих двух этапов.

1) Найти решение уравнения

 

с той же левой частью, что у заданного уравнения, и  также при нулевых начальных  условиях . С этой целью перейдем к операторному уравнению, пользуясь тем, что формулам 1, 29, 30 таблицы                   (здесь – изображение функции ):

 

Отсюда

 

Разложение полученной дроби  в сумму простейших дробей имеет  вид

 

Следовательно Получаем систему:

 

Из данной системы находим  неопределенные коэффициенты

. Получаем

 

Пользуясь формулами 1, 2, 13 таблицы с , имеем

 

2) Найдем решение исходного уравнения по формуле

 

где – правая часть исходного уравнения. Имеем

 

 

 

Итак,

 

4)  решение систем дифференциальных уравнении

Пусть нужно решить систему  из двух дифференциальных уравнении  с двумя неизвестными функциями  и заданными начальными условиями. Тогда от оригиналов переходят к их изображениям . От каждого уравнения системы переходят к операторному уравнению. Получается система операторных уравнений, являющихся системой линейных алгебраических уравнений относительно . Решив эту систему и найдя , восстанавливаем их оригиналы .

Пример 15. Найти решение дифференциальных уравнений

 

при начальных условиях .

Решение. Пользуясь соотношениями 1, 29 таблицы, перейдем к операторным уравнениям

 

Получили систему линейных уравнений относительно , решать которую можно различными способами: 1) выразить из второго уравнения и подставить в первое; 2) домножить второе уравнение на и сложить с первым; 3) использовать формулы Крамера. Решим систему последним способом.

Из коэффициентов при  составим определитель :

 

Последовательно заменяя  первый и второй столбцы этого  определителя столбцом из правых частей уравнений, получим, соответственно, определители :

 

 

 

 

Теперь  находятся по формулам Крамера:

 

Осталось от полученных изображений  перейти к оригиналам.

Разложим  в сумму простейших дробей:

 

Отсюда

 

Найдем неопределенные коэффициенты .

 

Откуда,

Таким образом,

 

По формулам 1, 2 таблицы и свойству линейности находим оригинал:

 

Найдем аналогично оригинал .

Разложим  в сумму простейших дробей:

 

Отсюда

 

Найдем неопределенные коэффициенты .

 

Откуда,

Таким образом,

 

По формулам  1, 2 таблицы и свойству линейности находим оригинал: