О полугруппе эндоморфизмов одной некоммутативной группы шестого порядка

Обратимся теперь к нахождению эндоморфизмов групп  шестого порядка. Напомним с этой целью определения соответствующих  понятий и простейших их свойств.

Определение.

Эндоморфизмом группы называют гомоморфное отображение  группы в себя и, следовательно, на свою подгруппу.

Так как каждый эндоморфизм группы систему образующих группы отображает на систему образующих соответствующей подгруппы, то эндоморфизмы группы надо искать среди всех таких и только таких отображений системы образующих группы на систему образующих соответствующей подгруппы, которые сохраняют определяющие соотношения группы, то есть, переводят каждое определяющее соотношение группы в определяющее соотношение соответствующей подгруппы.

Это обстоятельство позволяет эндоморфизмы группы записывать символически в виде «псевдоподстановки»  из двух строк; первая строка которой  представлена образующими группы, а  вторая - указанием образующего подгруппы, являющегося образом образующего  группы и расположенного под ним.

Таким образом, нахождение всех эндоморфизмов группы, заданной системой образующих и системой определяющих соотношений, связано, во-первых, с нахождением всех подгрупп группы и их систем образующих; во-вторых,- с выявлением всех ядер гомоморфизмов группы на подгруппы; в-третьих,- с установлением всех «псевдоподстановок», первая строка каждой из которых состоит из образующих группы, а вторая - состоит из образующих подгруппы, являющихся образами соответствующих образующих группы.

Обычным образом  определяется умножение эндоморфизмов : как произведение эндоморфизмов, рассматривается  как произведение (суперпозиция) двух отображений множества. Хорошо известно, что такое умножение ассоциативно, обладает нейтральным элементом, который  является тождественным отображением, и нулем, который отображает каждый элемент группы в единицу группы.

Все это означает, что совокупность End G всех эндоморфизмов группы G, образует относительно умножения эндоморфизмов полугруппу End G с единицей и нулем.

Среди всех эндоморфизмов группы G естественным образом выделяются так называемые автоморфизмы группы G : под эндоморфизмами понимают изоморфные отображения группы на себя.

2)Понятно,  что множество Aut G всех автоморфизмов группы G, образует подгруппу Aut G группы в подгруппе End G : ведь тождественное отображение группы на себя является единицей в Aut G, а обратным для автоморфизма служит обратное отображение и, наконец, Aut G замкнуто относительно умножения своих элементов.

Среди всех автоморфизмов группы G выделяются так называемые внутренние автоморфизмы.

Определение.

Пусть G – группа, a – элемент группы G. Отображение φ_a: G→ G, заданное правилом x·φ_a=a^-1·x·a для каждого элемента x, принадлежащего G, называется внутренним автоморфизмом группы G.

Заметим, что  φ_a: G→ G, действительно, является автоморфизмом группы G. На самом деле, во-первых, для элементов x, y, принадлежащих G

(x·y) φ_a= a^-1·x·ya= a^-1x·a a^-1y·a=x· φ_ay ·φ_a;

во-вторых, отображение φ_a сюрьективно для элемента z, принадлежащего G:

(a·z·a^-1)· φ_a=a^-1·(a·z·a^-1)·a=a^-1·a·z·a^-1·a=z.

Заметим также, что множество Φ(G) всех внутренних автоморфизмов группы G является в последней нормальным делителем.

На самом  деле, если φ принадлежит Aut G, φ_a принадлежит Φ(G), то для элемента x, принадлежащего G

x(φ^-1φ_aφ)=(xφ^-1)φ_aφ=(a^-1xφ^-1a)φ=a^-1φx(φ^-1φ)aφ=(aφ)^-1xaφ;

то есть φ^-1φ_aφ=φ_aφ.

Перейдем  теперь к нахождению всех эндоморфизмов  обеих групп шестого порядка  и построению таблиц Кэли для соответствующих полугрупп.

§2. Составление таблиц умножения эндоморфизмов группы шестого порядка.

A.Пусть G={g}-циклическая группа шестого порядка. Она, как установлено выше, имеет только подгруппы G={g}={g⁵}, {g²}={g⁴}, {g³}, E. С образующими g и g⁵, g² и g⁴, g³, 1, соответственно. Заметим, что в этих подгруппах определяющее соотношение g⁶ =1, очевидно, выполняется.

Поэтому, эндоморфизмы группы G определяются следующими псевдоподстановками :

 

то есть, в более подробной записи, следующими отображениями множества элементов  группы  G:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как при  псевдоподстановке  , получаем , где r=6, если ki делится на 6 и r является  остатком от деления ki на 6 в противном случае. То есть

 

 

 

Это соображение приводит к таблице  Кэли для полугруппы End G.

 

 

Согласно  полученной таблице Кэли, полугруппа End G :

1. является коммутативной;
2. обладает тремя идемпотентами и двумя эндоморфизмами ψ₃ и ω( напомним, что идемпотентом в полугруппе называется такой ее элемент, для которого справедливо x²=x);
3. обладает главными правыми идеалами, и в виду коммутативности полугруппы  End G, они совпадают с главными левыми, будут:

I₁={ε, φ, ψ_1, ψ₂, ψ₃, ω}, I₂={ψ₁, ψ₂, ω}, I₃={ψ₃, ω}, I₄={ω},

а идеалами- кроме указанных главных, I={ψ₁, ψ₂, ψ₃, ω};

4) распадается на классы   R- эквивалентности, совпадающие с классами Z- эквивалентности, то есть множествами элементов, порождающих одни и те же главные идеалы  :

{ε,φ}, {ψ₁, ψ₂}, {ψ₃}, {ω}.

 

B. Пусть теперь группа G определяется образующими a и b и системой определяющих соотношений

                    a²=1, b³=1 и ba=ab².

Выше отмечалось, что эта группа, кроме единичной  подгруппы и самой группы, обладает тремя подгруппами второго порядка  – циклическими подгруппами {a}, {ab}, {ab²} и одной подгруппой третьего порядка- циклической подгруппой {b} третьего порядка. Последняя является нормальным делителем группы G и, кроме образующего b, порождается также элементом b².

Сказанное означает, что apriory возможны эндоморфизмы группы G с ядром {b}, отображающими группу G на каждую из подгрупп второго порядка, и, наконец, эндоморфизм с ядром G, отображающим каждый элемент в единицу.

Исследуем каждую из отмеченных возможностей. С этой целью заметим, что при любом  эндоморфизме образом элемента g, принадлежащего G служит элемент, порядок которого является делителем порядка элемента g.

 

B1. Пусть ядро эндоморфизма α, принадлежащего End G совпадает с единичной подгруппой E, другими словами, пусть α является автоморфизмом группы G.

В этом случае образ xα элемента x, принадлежащего G имеет тот же порядок, что и элемент x. Следовательно, система образующих {a, b} отображается при автоморфизме на систему образующих {aα, bα}, состоящую из элементов второго и третьего порядка, соответственно.

 

Apriory для этих образов возможны случаи :

1. aα = a, bα = b;
2. aα = a, bα = b²;
3. aα = ab, bα = b;
4. aα = ab, bα = b²;
5. aα = ab², bα = b;
6. aα = ab², bα = b².

Заметим, что в каждом из этих случаев (aα)² = 1 и (bα)³ = 1. В справедливости и третьего определяющего соотношения ba = ab² для элементов aα и bα, то есть bα·aα = aα·(bα)².

Убеждаемся  прямой проверкой. Действительно,

в случае 1) эндоморфизм α является тождественным  отображением,

в случае 2) равенство bα·aα = aα·(bα)² следует из соотношений b²·a = a·b⁴ = a·b,

в случае 3) из соотношений b·ab = ab²·b = a и ab·b² = a,

в случае 4) имеем bα·aα = b²·ab = b²·b²a = ba и aα·(bα)² = ab·b⁴ = ab²,

в случае 5) имеем bα·aα = b·ab² = ba·b² = ab⁴ = ab и aα·(bα)² = ab²·b² = ab⁴ = ab,

в случае 6) bα·aα = b²·ab² = b·ba·b² = b·ab²·b² = bab = ba·b = ab³ = a и

                   aα·(bα)² = ab²·b⁴ = ab⁶ = a.

Таким образом, полугруппа End G содержит ровно шесть автоморфизмов : α₁, α₂, α₃, α₄, α₅, α₆, определяемых следующими псевдоподстановками:

 

 

 

 

 

B2. Ядро Ker β эндоморфизма β совпадает с циклической подгруппой {b}. Это означает, что

bβ = 1, b²β = 1 и aα ≠ 1.

Apriory для aα имеются лишь следующие возможности :

aβ = a, aβ  = ab, aβ = ab².

В каждом из этих случаев соотношения (aβ)² = 1 и (bβ)³ = 1 автоматически выполнены (ведь a, ab, ab²- элементы второго порядка, а b- элемент третьего порядка). Третье определяющее соотношение bβ·aβ = aβ·(bβ)².

Таким образом, для эндоморфизма β возможны лишь отображения, задаваемые псевдоподстановками :

 

 

B3. Ядро эндоморфизма γ совпадает с группой G.

 В этом  случае γ совпадает с нулевым  эндоморфизмом ω и определяется псевдоподстановкой:    

Итак, полугруппа End G состоит из шести автоморфизмов α₁, α₂, α₃, α₄, α₅, α₆, определяемыми подстановками :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из нулевого эндоморфизма и трех эндоморфизмов β₁, β₂, β₃, определяемых отображениями:

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственными вычислениями получаем таблицу Кэли для полугруппы End G:

 

	α1	α2	α3	α4	α5	α6	β1	β2	β3	ω
α1	α1	α2	α3	α4	α5	α6	β1	β2	β3	ω
α2	α2	α1	α4	α3	α6	α5	β1	β2	β3	ω
α3	α3	α6	α5	α2	α1	α4	β1	β2	β3	ω
α4	α4	α5	α6	α1	α2	α3	β1	β2	β3	ω
α5	α5	α4	α1	α6	α3	α2	β1	β2	β3	ω
α6	α6	α3	α2	α5	α4	α1	β1	β2	β3	ω
β1	β1	β1	β2	β2	β3	β3	β1	β2	β3	ω
β2	β2	β3	β3	β1	β1	β2	β1	β2	β3	ω
β3	β3	β2	β1	β3	β2	β1	β1	β2	β3	ω
ω	ω	ω	ω	ω	ω	ω	ω	ω	ω	ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

  Так как 

              a(α₅α₆) = (aα₅)α₆ = (ab²)α₆ = aα₆·(bα₆)² = ab²·b⁴ = ab⁶ = a = aα₄,

 

              b(α₅α₆) = (bα₅)α₆ = bα₆ = b² = bα₄.

 

Таким образом, α₅α₆ = α₄.

 

Аналогичными  выкладками заполняются и все  остальные клетки таблицы Кэли для  полугруппы End G.

Отметим, что  группа Aut G состоит из шести автоморфизмов α₁, α₂, α₃, α₄, α₅, и α₆, то есть является группой шестого порядка, причем, согласно таблице Кэли, некоммутативной. А таких групп с точностью до изоморфизма имеется только одна, а, именно,- симметрическая группа третьей степени, которая порождается элементами a и b  второго и третьего порядка, соответственно. Согласно построенной таблице Кэли, такими элементами второго порядка являются автоморфизмы α₂, α₄, α₆, а элементы третьего порядка - автоморфизмы α₃ и α₅. Поэтому можно считать установленным, что в качестве элементов a и b можно рассматривать автоморфизмы α₂ и α₃, соответственно.

Таким образом, группа автоморфизмов группы G изоморфна симметрической группе третьей степени. Последняя может быть представлена шестью подстановками:

 

 

 

 

 

	ε	φ1	φ2	φ3	ψ	ψ-1
ε	ε	φ1	φ2	φ3	ψ	ψ-1
φ1	φ1	Ε	ψ-1	ψ	φ3	φ2
φ2	φ2	Ψ	ε	ψ-1	φ1	φ3
φ3	φ3	ψ-1	ψ	ε	φ2	φ1
ψ	ψ	φ 2	φ3	φ1	ψ-1	ε
ψ-1	ψ-1	φ 3	φ1	φ2	ε	ψ

 

 

 

 

 

и таблицей Кэли

 

 

 

 

Согласно  таблице Кэли для полугруппы End G, можно заключить:

1. полугруппа End G является некоммутативной и состоит из десяти элементов;
2. обладает пятью идемпотентами α₁, β₁, β₂, β₃, и ω;
3. имеет три главных правых идеала: