Некоторые примеры некоммутативных алгебр

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего

профессионального образования

«Московский педагогический государственный  университет» 

математический  факультет

кафедра Алгебры. 
 
 
 

РЕФЕРАТ 

По  теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр». 
 
 
 
 
 

Выполнила:

Студентка

3. группы 6 курса

Браницкая Нина Анатольевна

Научный руководитель:

Ширшова Елена Евгеньевна. 
 
 

Москва, 2010

 

Содержание:

Глава 1. Основные понятия и определения 4

Глава 2.  Примеры некоммутативных алгебр 3

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем  3
1. Свойства векторного произведения 4
2. Выражение векторного произведения через координаты 4
2. Множество квадратных матриц над полем  5
3. Тело кватернионов К над полем  5
1. Основные свойства 6
4. Алгебра Грассмана над полем  9
1. Следствия 10
5. Список литературы 11
 

1. Основные понятия и определения.

    Определение: Пусть F – поле, V  - некоторое множество, на котором заданы следующие операции:

1. операция сложения:

    

2. операция  умножения:

    

    Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия:

     - абелева группа;

    

    Элементы  множества V называются векторами, а элементы поля F – скалярами.

    Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй, если выполняются следующие условия:

    

    Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:

     .

    Определение: Алгебра называется ассоциативной, если .

    Определение: Алгебра называется коммутативной, если .

    Определение: Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей, а элемент - единицей алгебры. 

2. Примеры некоммутативных алгебр.

 

1. Множество векторов трехмерного  векторного пространства над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.

    Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

    1. ;

    2. имеет длину, численно равную  площади параллелограмма, построенного  на векторах и , как на сторонах, т.е. , где ;

    3. векторы  , и образуют правую тройку векторов.

    Обозначение: , где . 

    Свойства  векторного произведения. 

    

1. При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть

    Доказательство: Векторы и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .

2. Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть .

    Доказательство: Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые ( ), имеют одинаковую длину ( )

    Поэтому . Аналогично доказывается при .

3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть .

    Доказательство: . Следовательно, .

    В частности, . 

    

4. Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть

 

    Выражение векторного произведения через координаты.

    Таблица векторного произведения векторов   

    Пусть заданы два вектора  и , такие, что ,

    Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: .

    Проверим, является ли векторное пространство линейной алгеброй.

    

    Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра.

    Проверим, является ли ассоциативной алгеброй.

    

    Следовательно, не является ассоциативной алгеброй.

    Проверим, является ли коммутативной алгеброй.

     , такие образом,  .

    Следовательно, не является коммутативной алгеброй.

    Замечание: является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы. 

    

2. Множество квадратных матриц над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц

     .

    Замечание: является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей . 

    

3. Тело  кватернионов К над полем . Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.

     ,

    где - мнимые единицы со следующей таблицей умножения:

    

    Определим бинарные операции сложения и умножения  кватернионов:

    

    

    Определение: Кватернион называется сопряженным к .

    Определение: называется модулем кватерниона .

    Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.

    Рассмотрим  базис:

    Проверим  свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:

    

      

    

    

    

    

    Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:

     ,

    здесь - комплексно-сопряженные числа к . 

    Основные  свойства.

    1.  комплексному числу соответствует диагональная матрица;

2. сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица .

      

    

    

    3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы .

    Докажем это свойство:

    

    Следовательно, .

    Проверим, является ли алгеброй.

    1. - векторное пространство?

    а). - абелева группа?

    

1).

    2).

       

    3).

    4).

     

    Из 1) - 4) следует, что - абелева группа.

б).

в).

г).

д).

 

    Из  а) - д) следует, что - векторное пространство.

    2.

    Аналогично  проверяется, что 

3.

    Аналогично  проверяется, что  .

    Из 1-3 следует, что  - алгебра над полем .

    Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем . 

4.   Алгебра Грассмана  над полем  .

    Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов , обладающих свойствами:

    (a) *свойство антикоммутативности*    (1)

    (b) любое другое соотношение между образующими элементами является следствием соотношения (1), в частности

    Обозначение: - алгебра Грассмана с образующими элементами.

    Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.

    Начнем  с алгебры  . В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры есть .

    Рассмотрим  алгебру  , содержащую два образующих элемента , причем . Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так: .

    Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы принимают значения .

    Заметим теперь, что любой моном , где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид: