Методы вычисления определенных интегралов. Численное интегрирование

Сложив полученные равенства, имеем

 

.                 (2.5) 

      Формула (2.5) называется формулой парабол (или  Симпсона).

      Абсолютная  погрешность вычисления по формуле (2.5) оценивается соотношением 

      

где .

      Формула (2.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда f(æ) – многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда f^IV = 0).

 

       3. Вычисление определенного  интеграла 

      Сравним формулы Ньютона-Лейбница, прямоугольников, трапеций, парабол в дейтвии, применив их к приближенном вычислению интеграла: 

      

 

при n=10. Оценим погрешность каждого метода. 

      3.1 Формула Ньютона-Лейбница 

      По  формуле Ньютона-Лейбница (1.1) легко  находим точное значение этого интеграла: 

. 

3.2 Метод прямоугольников 

      Прежде  чем непосредственно вычислять  интеграл по формуле, найдем сначала  абсолютную погрешность метода. Это  позволит определить с какой точностью  необходимо учитывать вычисления 

      

      Так как подинтегральная функция  ,

поэтому получаем 

       ; 

      Найдем  наибольшее значение на отрезке от [1;2] – М₂. 

        

поэтому  

      Таким образом, функция  достигает максимального значения на отрезке [1;2] в точке æ=1 при y=18. 

      Тогда М₇ =  
 

      Значит 

      

. 

       Следовательно, результаты вычислений, полученные в этом и последующих способах, необходимо округлять до десятитысячных.

       Поскольку число n отрезков разбиения равно 10, то длина отрезков разбиения равна и так как æ_i = æ₀ + ih, I = 1,2,3,…,10, æ₀ = a = 1, имеем æ₁ = 1,1; æ₂ = 1,2; æ₃ = 1,3; æ₄ = 1,4; æ₅ = 1,6; æ₇ = 1,7; æ₈ = 1,8; æ₉ = 1,9; æ₁₀ = 2; (рис.6).

      По  формуле  найдем абсциссы середин отрезков и значение (y_i = f(c_i)) функции  y = f(æ) = в этих точках. 

 
 

      Подставляя  в формулу (2.1) получаем 

      

 

      3.3 Метод трапеций 

      Пользуясь формулой трапеций, найдем приближенное значение интеграла, который мы уже  вычисляли по формуле прямоугольников (рис.6)

      Полагая, как и прежде, n=10, имеем . Составим таблицу значений подинтегральной функции f(æ) = в точках а = æ₀, æ₁, æ₂,…, b= æ_n, делящих отрезок [1;2] на 10 равных частей. 

      Таблица 1 

      Подставив найденные значения в формулу (2.2), получаем  

 

      Абсолютная  погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивающаяся с помощью формулы 

      

      Таким образом, результат, полученный для  по формуле трапеций, оказался значительно точнее результата, полученного для этого интеграла по формуле прямоугольников. И в общем случае, точность вычисления интегралов, получаемая по способу трапеций, как правило, значительно выше, чем по способу прямоугольников, несмотря на то, что приближенное вычисление интегралов по способу трапеций лишь немногим труднее, чем по способу прямоугольников. 

      3.4 Метод парабол (Симпсона) 

      Используя ранее вычисленные данные, данные таблицы 1 и учитывая, что при применении метода парабол число равных частей, на которые разбивается отрезок, сокращается в 2 раза (т.е. будет n=5), подставляя все в формулу (2.5) получаем  

      

      Абсолютная  погрешность данного способа  равна 

      

 

      Таким образом, видим, что по формуле парабол  результат получается намного точнее, чем по формуле трапеций, хотя мы и делим отрезок [1;2] всего на 5 частей (вместо 10).

      Заключение 

      Универсальных методов численного интегрирования не существует, каждый из них отличается степенью сложности, точности и особенностями  применения. Так формула Ньютона-Лейбница является важным и самым точным средством  вычисления определенных интегралов. Однако ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Именно поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается еще более предпочтительным в связи с возрастающими возможностями современной вычислительной техники, реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.

 

       Список литературы 

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004.
3. Шейнин О.Б Интегральное исчисление. – М., 1975.
4. Шипачев В.С. высшая математика для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1985.