Методы вычисления определенных интегралов. Численное интегрирование

Министерство  сельского хозяйства  и продовольствия Российской Федерации

Уральская государственная  сельскохозяйственная академия

Кафедра математики 
 
 
 
 
 
 

Реферат на тему:

Методы  вычисления определенных интегралов. Численное интегрирование 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                           
 
 
 
 

Екатеринбург 2011

 

      План 

   Введение…………………………………………………………………………3

1. Точное вычисление определенного интеграла – формула Ньютона-Лейбница……………………………………………………………………..4
2. Приближенное интегрирование…………………………………………….7
1. Формула прямоугольников……………………………………………7
2. Формула трапеций……………………………………………………..9
3. Формула парабол (Симпсона)………………………………………..10

  3. Вычисление  определенного интеграла……………………………………..13

          3.1 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………...13

          3.2 Метод прямоугольников……………………………………………...13

          3.3 Метод трапеций……………………………………………………….16

          3.4 Метод парабол (Симпсона)…………………………………………..17

Заключение………………………………………………………………………18

Список литературы……………………………………………………………...19

 

       Введение 

      Интегрирование  является одной из самых распространенных математических операций. За последние  десятилетия значение вычислений очень  сильно возросло во многих областях деятельности людей – научной, технической, организационной  и т.д. Усилился и интерес к тому, чтобы научиться достаточно точно и с возможно малой затратой труда находить численные значения многообразных видов интегралов, с которыми приходится встречаться в самых разных вопросах.

      Появилось много исследований по численному интегрированию, в частности опубликовано большое количество вспомогательных таблиц.

      Универсальных методов численного интегрирования практически не существует, и лицо, составляющее план вычислений, должно будет среди многих известных  правил интегрирования избрать какое-либо одно. Так, если можно найти первообразную функции, то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Однако при решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

 

       1. Точное вычисление  определенного интеграла  – формула Ньютона-Лейбница 

      Вычисление  определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной сумы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

      Пусть функция y = f (æ) интегрируема на отрезке [a;b].

      Теорема. Если функция y = f (æ)   непрерывна на отрезке [a;b] и F(æ)   - какая-либо ее первообразная на [a;b] (F´(x) = f (æ)), то имеет место формула: 

                                                                                       (1.1) 

      Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками а = х₀, х₁,…, b = æ_n (æ₀ < æ₁ < … < æ_n) на n частичных отрезков [æ₀; æ₁], [æ₁ < x₂], …, [æ_n-1; æ_n], как это показано на рис. 1. 

        c₁      c₂                                  c_i                               c_n                   æ 

      0   а= х₀    х₁     æ₂ x_i-1 х_j b= æ_n 
 

      Рис.1 

      Рассмотрим  тождество

      F(b) – F(a) = F(æ_n) – F(æ₀) = (F(æ_n) – F(æ_n-1)) + (F(æ₁) – F(æ_n-2)) +…

      + (F(æ₂) – F(æ₁)) + (F(æ₁) – F(æ₀)). 
 

      Преобразуем каждую разность в скобках по  формуле Лагранжа

      F(b) = f(a) = f´(c) ∙ (b-a).

      Получим

      F(b) – F(a) = F´(c_n) ∙ (æ_n - æ_n-1) + F´(c_n-1) ∙ (æ_n-1 - æ_n-2)+ …

      + F´(c₂) ∙ (æ₂ - æ₁) + F´(c₁) ∙ (æ₁ – æ₀) = т.е. 

                                F(b) – F(a) =                                     (1.2) 

где с_i есть некоторая точка интервала (æ_i-1; x_i).

      Так как функция y = f(æ) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(æ)   на [a;b].

      Переходя  в равенстве (1.2) к пределу при  λ = max Δ x_i→0, получаем 

      F(b) – F(a) =

      т.е.

      F(b) – F(a) =

 

      Равенство (1.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b) – F(a) = F(æ)│^b_a, то формулу Ньютона-Лейбница (1.1) можно переписать так: 

      

 

      Формула Ньютона-Лейбница дает удобный и  самый точный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции  f (æ)  на отрезке [a;b], надо найти ее первообразную функцию F(æ) и взять разность F(b) – F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].

      Формула Ньютона-Лейбница была выведена в предположении, что подинтегральная функция  f (æ)   непрерывна. При некоторых условиях формула Ньютона-Лейбница имеет место и для разрывных функций.

 

      2. Приближенное интегрирование 

      Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(æ). Если можно найти первообразную F(æ) функции f(æ), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

      

.

      Но  отыскание первообразной функции  иногда весьма сложно; кроме того, как  известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция y = f(æ) задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

      Рассмотрим  три наиболее употребительные формулы  приближенного вычисления определенного  интеграла – формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла. 

      2.1 Формула прямоугольников 

      Пусть на отрезке [a;b], а<b, задана непрерывная функция f(æ). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок [a;b] на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек æ₀ = а, х₁, х₂, …х_n = b. Можно записать, что æ_i = æ₀+h ∙ i, где I = 1,2,…,n. (рис.2) 

       В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции y = f(æ). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью .

       Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла. 

          .                        (2.1) 

      Формула (2.1) называется формулой средних прямоугольников.

      Абсолютная  погрешность приближенного равенства (2.1) оценивается с помощью следующей формулы: 

      

, 

где М₂ – наибольшее значение на отрезке [a;b],

      

. 

      Для линейной функции (f(æ) = ræ+b) формула (2.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае . 

      2.2 Формула трапеций 

      Формулу трапеций получают аналогично формуле  прямоугольников: на каждом частичном  отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

       Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей длины . Абсциссы точек деления а = æ₀, æ₁, æ₂, …,b = æ_n (рис. 3). Пусть y₀, y₁, …,y_n – соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид æ_i=a + h ∙i, y_i = f(æ_i),

i = 0,1,2,…,n; .

       Заменим кривую y = f(æ) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 y_i (i = 0,1,2,…,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_i, y_i+1 и высотой : 

      

 или 

       .               (2.2) 

      Формула (2.2) называется формулой трапеций.

      Абсолютная  погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы  

      

, 

      где . Снова для линейной функции y = r æ+b формула (2.2) – точная. 

3.   Формула парабол (Симпсона)

 

       Если заменить график функции y = f(æ) на каждом отрезке [æ_i-1; æ_i] разбиения на отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла .

       Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = аæ² + bæ + c, сбоку – прямыми æ = -h, æ = h и снизу – отрезком [-h;h].

      Пусть парабола проходит через три точки  М₁ (-h;y₀), M₂(0;y₁)_, M₃ (h;y₂), где y₀ = аh² – bh +c - ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с – ордината параболы в точке æ = 0; y₂ = аh² + bh + c, - ордината параболы в точке æ = h (рис. 4) Площадь S равна 

            .                   (2.3) 

      Выразим эту площадь через h, y₀, y₁, y₂. Из равенств для ординат y_i находим, что с = y₁, .

      Подставляя  эти значения с и а в равенство (2.3) получаем 

.         (2.4) 

      Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла  .

       Для этого отрезок [a;b] разобьем на 7n равных частей (отрезков) длиной точками æ_i = æ₀ + ih (i = 0,1,2,…2n). В точках деления а = æ₀, æ₁, æ₂, …, æ_2n-2, æ_2n-1, æ_2n = b вычисляем значения подинтегральной функции f(æ): y₀, y₁, y₂, …,y_2n-2, y_2n-1, y_2n, где y₁ = f(æ) (рис.5). Аналогично находим