Математические методы в юриспруденции

Решение. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н₁ состоит в том, что для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н₂ состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н₃ состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез:

Р(Н₁) =  ; Р(Н₂) =  ; Р(Н₃) =  .

Теперь вычислим условные вероятности  события А.

Р(А/Н₁) =  ; Р(А/Н₂) =  ; Р(А/Н₃) =  .

Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности

Р(А) = 

Пример. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Решение. Пусть событие В₀ состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие В₁ – в  том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А₀ состоит в том, что принят сигнал “0”, с событие А₁ – в том, что принят сигнал “1”. Нас интересует Р(В₀/А₁). По условию

Р(В₀) = 0,7 Р(В₁) = 0,3

Р(А₀/ В₀) = 0,8 Р(А₁/ В₀) = 0,2

Р(А₁/В₀) = 0,8 Р(А₀/ В ₁) = 0,2

По формуле Байеса получаем

Р(В₀/А₁) = 0,2×0,7/(0,2×0,7+0,8×03) = 0,37.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Исследование больного вызвало предположение о возможности трех заболеваний с вероятностями . Для уточнения диагноза был проведен анализ, давший дополнительный результат с вероятностью 0,3; 0,9 и 0,1 при первом, втором и третьем заболевании, соответственно. Какова после этого вероятность каждого из заболеваний?
2. Три охотника выстрелили по кабану, который оказался убитым одной пулей. Вычислить вероятность, что кабан убит каждым из охотников, если вероятности попадания для них равны 0,2 ; 0,4 и 0,6.

Указания:

Обозначим – кабан убит одной пулей, – кабан убит первым охотником, – кабан убит вторым охотником, – кабан убит третьим охотником, – одиночное попадание первого охотника, – одиночное попадание второго охотника, – одиночное попадание третьего охотника. Таким образом, гипотезы выражаются формулами – .

3. Число грузовых машин, проезжающих мимо АЗС, относится к числу проезжающих там же легковых машин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна – 0,1. Для легковой машины эта вероятность – 0,2. На заправку подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая.

 

Последовательтность испытаний (схема Бернулли)

Практические задачи, связанные с оценкой вероятности  наступления события в результате нескольких равноценных попыток  могут анализироваться с применением  формулы Бернулли или (при большом  количестве таких попыток) с применением приближенной формулы Пуассона. Для работы с этим материалом Вам снова потребуется знание основ комбинаторики.

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность  наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p). Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Вероятность Р_n(m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m₀, а затем уменьшается при изменении m от m₀ до n.

Поэтому m₀, называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число m₀, заключено между числами np-q и np+p (или, что то же самое, между числами n(p+1)-1 и n(p+1)) .Если число np-q - целое число, то наивероятнейших чисел два: np-q и np+p.

Важное замечание. Если np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Пример. Игральная кость бросается 4 раза. При каждом броске нас интересует событие А={выпала шестерка}.

Решение: Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то

p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6.

Вероятность того, что в 4 независимых испытаниях успех наступит ровно m раз (m < 4), выражается формулой Бернулли:

Посчитаем эти значения и запишем  их в таблицу.

Самое вероятное число успехов  в нашем случае m₀=0.

Пример. Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20. 
Решение: при n =19 находим

Таким образом, максимальная вероятность  достигается для двух значений m₀, равных 11 и 12. Эта вероятность равна P₁₉(11)=P₁₉(12)=0,1797. При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения m₀, т.к.  

не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха m₀ равно 12. Вероятность его появления равна P₂₀(12)=0,1797. Совпадение чисел P₂₀(12) и P₁₉(12) вызвано лишь сочетанием значений n и p и не имеет общего характера.

На практике в случае, когда n велико, а p мало (обычно p < 0,1; npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

Пример 4. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение: будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Обозначим А={отказ элемента за год}.

P(A)=p=0,002, l=np=1000*0,002=2

По формуле Пуассона

Обозначим через P1000( > 2) вероятность  отказа не менее двух элементов за год.

Переходя к противоположному событию, вычислим P1000( > 2) как:

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Какова вероятность двух попаданий?

Указания:

По формуле Бернулли искомая  вероятность равна

Для решения задачи необходимо воспользоваться  встроенной функцией ЧИСЛКОМБ из категории Математические. В качестве аргументов этой функции следует указать адреса ячеек, в которых предварительно записывается общее число вариантов и число выбранных вариантов.

2. По удаляющемуся автомобилю с преступниками производится четыре независимых выстрела. Вероятности попаданий при этих выстрелах равны . Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий.

Указания:

Следует воспользоваться производящей функцией, которая имеет вид

Числовые характеристики случайных величин.

Случайной называется величина, которая  при повторении опыта может принимать  неодинаковые числовые значения. Случайная  величина называется дискретной, если она в результате опыта может  принимать конечное число значений. Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами – , а их значения, принимаемые во время опыта малыми – . Знаки отношений между случайными величинами и их значениями формируют события: – случайная величина приняла значение , – случайная величина приняла значение не превосходящее .

Пусть в результате опытов случайная величина может принять множество значений . Каждое такое значение может появиться со своей вероятностью – . Таким образом, возникает некоторая зависимость между значениями случайной величины и вероятностями их появления, которая может быть выражена формулой . Это соотношение называется законом распределения случайной дискретной величины. Если его задать не формулой, а в виде таблицы

			…
			…

то такая таблица носит название – ряд распределения. График построенный  по этой таблице называется – многоугольник распределения.

Мода случайной дискретной величины есть ее значение, отвечающее наибольшей вероятности

.

Математическое ожидание случайной  величины характеризует ее среднее  значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Для случайной дискретной величины математическое ожидание выражается формулой

Иногда математическое ожидание обозначают –  .

Для описания рассеяния случайной дискретной величины служит специальная характеристика – дисперсия. Она выражается формулой

.

Квадратный корень этой величины

называется среднеквадратичным отклонением  случайной величины . Иногда дисперсию и среднеквадратичное отклонение обозначают – .

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Стрелок производит 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. За каждое попадание ему засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа выбитых очков. Вычислить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Указания:

1. В качестве значений случайной величины Х следует ввести число выбитых очков – {0,5,10,15,20,30,35,40,45,50}.
2. Вычислить вероятности этих значений по формуле Бернулли .
3. Вычислить в отдельной ячейке математическое ожидание.
4. Вычислить квадраты отклонений случайной величины.
5. Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
6. Результаты вычислений свести в таблицу.
7. Построить многоугольник распределения.

 

 

Примечание:

В расчетах следует использовать абсолютную и относительную адресацию ячеек. При корректировке данных изменять абсолютную и относительную адресацию ячеек можно клавишей F4.

2. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,7. Производится ряд независимых выстрелов, которые продолжаются до первого поражения, после чего прекращаются. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа произведенных выстрелов, ограничиваясь 20 значениями. Вычислить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Задачи для самостоятельного решения

1. Игральная кость брошена 2 раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна одиннадцати?
2. В партии из 300 деталей имеется 50 бракованных. Для проверки отобрали 15 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только 3 бракованных.
3. В студенческой группе (17 девушек и 8 юношей) разыгрываются 7 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат три девушки и четыре юноши?
4. На шести одинаковых карточках написаны буквы «А», «А», «А», «М», «С», «Р». Какова вероятность того, что случайным образом разложив в ряд карточки получим слово «САМАРА»?
5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и составляют двузначное число. Событие А – обе цифры четные; событие В – обе цифры нечетные. Найдите вероятности событий А+В и АВ.
6. Студент разыскивает нужную ему цитату в трех книгах. Вероятности того, что цитата содержится в первой, второй и третьей книге равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что цитата содержится в одной книге.
7. На шести одинаковых карточках написаны буквы «А», «А», «А», «М», «С», «Р». Какова вероятность того, что, разложив вряд четыре случайно отобранные карточки, мы получим слово «МАРС»?
8. Управление УВД выделило три премии для сотрудников оперативных групп. Жребий тянули все 10 сотрудников. Какова вероятность того, что первую премию получит следователь Иваненко, вторую оперативник Петренко, а третью – инспектор Нечипоренко?
9. Как показывает практика, в среднем в трех автомобилях из каждой тысячи, проходящих таможенный досмотр, обнаруживают наркотики. Какова вероятность того, что наркотики будут обнаружены, хотя бы в одной из пятисот проверенных машин?
10. В команде по синхронному плаванию 10 мастеров спорта. Для участия в соревнованиях выбрали четверых. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены мастера спорта.
11. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 15 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас кандидат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?
12. Из цифр 3, 5, 9, составлены всевозможные двузначные числа. Какова вероятность того, что выбранное из этой совокупности число делится на 3?
13. Вероятность того ,что книга имеется в фондах университетской библиотеки равна 0,5; городской библиотеки – 0,4; областной библиотеки – 0,7. Найти вероятность того, что книга есть хотя бы в одной библиотеке.
14. Найдите вероятность того , что два мотора на самолете выйдут из строя, если вероятность выхода из строя одного мотора не зависит от исправности других и равна 0, 0001.
15. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по уголовному праву , равна 0,6, а вероятность успешной сдачи им экзамена по гражданскому праву, равна 0,7. Какова вероятность того, что он успешно сдаст оба экзамена?
16. В течение месяца суд вынес 36 приговоров, в том числе 8 – за кражу. В порядке прокурорского надзора проверено 15% дел. Какова вероятность того, что в их числе оказалось два дела по обвинению в краже?