Математические методы в юриспруденции

Математические  методы в юриспруденции

 

1. Комбинаторика. 13 задач. max=13 баллов.

2. Вычисление вероятностей. 4 задачи. max=4 балла.

3. Сложение и умножение вероятностей. 5 задач. max=5 баллов.

4. Формула полной вероятности. 4 задачи. max=4 балла.

5. Формула Байеса. 3 задачи. max=3 балла.

6. Последовательтность испытаний (схема Бернулли). 2 задачи. 1-ая = 1балл, 2-ая = 2 балла. max=3 балла.

7. Числовые характеристики случайных величин. 2 задачи. max=4 балла.

8. Задачи для самостоятельного решения16 задач. 1 задача = 4 балла. max=64 балла.

 

C 1-8 пункт можно набрать  100 баллов. Для зачета достаточно  набрать 90 баллов. Если 90 баллов не  набрано, то добираем на зачете, решая новые задачи.

 

№ занятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
кол-во баллов	13	4	5	4	3	3	4	64		Зачет (+30)

 

[назад]

Решение задач комбинаторики

1. Правило суммы

 

Для ознакомления первого правила  комбинаторики-правила суммы мы предлагаем разбор следующей задачи:

     Задача 1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета?

     Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами.

Правило суммы в комбинаторике:

Если элемент а можно  выбрать m способами, а элемент в-n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элементов в, то выбор «а или в» можно сделать m+n способами.

   Задача 2. В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика?

    Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60.  

     2) Возможность выбора одного ученика 10+6=16.

 

2. Правило произведения

 

     Рассмотрим решение  задачи, через которое сформулируем  новое правило – правило произведения, неоднократно используемое при  изучении последующего материала.

     Задача 1. Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

     Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12.

     Правило произведения:

  Пусть нужно выбрать  к элементов. Если первый элемент  можно выбрать n1  способами, второй – n2 способами и т. д., то число способов к элементов, равно произведению n1· n2·… nк.

     Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд?

     Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.

 

3. Перестановки

 

     Простейшими комбинациями, которые можно составить из  элементов конечного множества,  являются перестановки.

     Рассмотрим на примере  перестановку без повторений.

    Задача: На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги?

     Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному:

     авс, асв, вас, вса, сав, сва.

     Каждое из этих  рассположений называют перестановкой из трех элементов.

     При решении этой  задачи можно воспользоваться  правилом умножения. Выбор первого  места на полке три. Для каждого  выбора первого места есть  две  возможности выбора второго  места. Из трех книг один  выбран для первого места. Остаются 2 остальные книги. Наконец, для каждого выбора первых, вторых мест только один выбор третьего места.

     Опредление: Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

     Число перестановок  из n элементов обозначается символом Рn.

     Пусть мы имеем  n элементов. На первое место можно поставить любой из них всего п выборов. На второе место любой из оставшихся, т. е. n-1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. n-2 выбора и т. д. В результате получим: Рn = n·(n-1)·(n-2)…2·1.

     Если произведение  обозначим 1·2·3…(n-1)·n = n!, то число всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:

     Рп = n!

 

          Задачи:

 

1. Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках?

Решение: Р7 =1·2·3·4·5·6·7=5040          Ответ: 5040 способов.

 

2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если

цифры не повторяются?            

Решение: Так какнатуральное число не может начинаться с цифры 0, исключаем те числа, которые начинаются с цифры 0. Количество таких чисел         

Р4 = 1·2·3·4= 24

Р5 – Р4 = 1·2·3·4·5-1·2·3·4 = 120-24=96     Ответ: 96 чисел.

 

3. На собрание пришли 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами можно их рассадить, если девочки хотят сидеть рядом?

Решение: Если рассмотреть девочек как одну, всего перестановок будет Р5. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р3 перестановок девочек. Искомое число перестановок:

Р5·Р3 = 5!·3!=1·2·3·4·5·1·2·3=720     Ответ: 720 способов.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Сколько существует способов для расстановки десяти книг на полке?
2. Сколько различных восьмизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8?
3. Сколько различных комбинаций букв можно составить из слова «юриспруденция»?
4. Вычислить: .

 

 

 

4. Размещения.

Размещением из элементов по называется всякая перестановка по элементов, выбранных каким – либо способом из данных элементов. Число размещений из элементов по обозначается и вычисляется по формуле .

 

Задача: Даны четыре различных шара: белый, зеленый, красный и синий. Их нужно поместить в 3 пустые ячейки. Сколько всего будет  способов размещения шаров?

     Решение: Сначала выпишем все варианты, которые начинаются с белого шара, затем – с зеленого и т. д.

     бзк, бкз, бзс, бсз, бкс, бск.

     збк, зкб, зсб, збс, зкс, зск.

     кбз, кзб, ксб, кбс,  кзс, ксз.

     сбз, сзб, скб, сбк,  скз, сзк.

     Всего способов 24. В  первую ячейку можно выбрать  четырьмя способами. Во вторую  – тремя, в третью – двумя.  Всего способов 4·3·2=24. Каждую упорядоченную  тройку, которую можно составить из четырех  элементов, называют размещением из четырех элементов по три. 

                          

     Определение: Размещением из n элементов по к (к≤n) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

     Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или их составом.

      к                                                                         

     Число размещений  из n элементов по к обозначают Аn.

     Первый элемент можно  выбрать n способами, второй n-1 и последний к-й элемент n-(к-1) способами.

        к

     Аn = n(n-1)(n-2)… (n-(k-1))

 

     Задачи:

 

1. Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предметов.

Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком      следования предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении

     из 8 элементов по 4.

      4

         А8= 8·7·6·5=1680               Ответ: 1680 способов.

 

2. Сколькими способами тренер может распределить 10 спортсменов,                                                                                         на эстафете 4·100 на первом, во втором, третьем и четвертом этапах?

               4

     Решение: А10 = 10·9·8·7·=5040     Ответ: 50400 способов.

 

3. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различны и первая цифра различна отнуля?                                    5

    Решение: Число размещений из десяти элементов по пять – А10. Число размещений

                                                        4

начинающихся с цифры ноль –  А9. Число телефонных   номеров равно:

       5           4

    А10 – А9 =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216      Ответ: 27216 номеров.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. На юридическом факультете в группе 16 студентов, которые сидят по двое. Во время обучения преподаватель постоянно пересаживает студентов. Сколько раз может преподаватель пересадить студентов по двое , чтобы одинаковых вариантов размещения не оказалось?
2. Сколько существует способов расстановки на полке 5 выбранных уголовных дел из 10 имеющихся?
3. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 7, 9, 6, 5, 4?
4. Сколько трехзначных чисел, не начинающихся с нуля можно составить из всех цифр?
5. Преступник подсмотрел первую цифру – 2 и последнюю цифру – 8 на кодовом замке автоматической камеры хранения на вокзале. Сколько комбинаций ему нужно перебрать, чтобы вскрыть камеру?

5. Сочетания.

Сочетанием из элементов по называется всякая совокупность по элементов, выбранных каким – либо способом из данных элементов. Число размещений из элементов по обозначается и вычисляется по формуле .

Задача: На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?

Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d, е. Можно составить такие сочетания: авс, авd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bed, cde.

Всего: 10 способов.

 

Определение: Сочетанием из n элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.

                                 к

     Число сочетаний из n элементов по к обозначается Сn.

     В сочетаниях не имеет значения  порядок элементов, сочетания  отличаются составом элементов.

     Допустим, имеется множество, содержащее  n элементов, и из его элементов составлены

                к

всевозможные  сочетания по к элементов. Число  таких сочетаний равно Сn. В каждом сочетании можно выполнить Рк перестановок. В результате мы получим все размещения,

        к

которые можно составить из n элементов по к. Их число равно Аn.

               К            к                                     к           к

     Значит, Аn = Cn·Pк. Отсюда Сn = Аn

   к                                                              Рк

Сn = n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))   

                1·2·3·…·k

     Умножим числитель и знаменатель, на (n-к)!

 

   к

Сn = (n-1)(n-2)…(n-(k-1)(n-k)! =           n                           

                   1·2·3·…·k·(n-k)!              k!(n-k)!

    

   

 

 

 

 

 Задачи:

 

1. Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:

   3

С12 = 1·2·3·…·9·10·11·12 = 220     Ответ: 220 способов 

             1·2·3·1·2·3·…·9 

             

2. В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если:

а) среди них  должен быть 1 мальчик;

б) это могуть быть любые 3 ученика?

                    1

Решение: а) выбрать одного мальчика можно С8 способами:

 

 

   1

С8  = 1·2…·8 = 8

          1!·1·2·..·7

             

                                                                                       2    

           Выбрать  из 10 девочек 2 дежурных можно С10 способами:

                      2

С10 = 1·2·…·8·9·10 = 45

          1·2·1·2·…·8 

Способов из 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, всего:

     1        2

С8 ·С10 = 8·45=360        Ответ: 360 способов.

б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать

   3

С18 = 1·2·3…15·16·17·18 = 816         Ответ: 816 способов.