Математические методы в юриспруденции

          1·2·3·1·2·3·…·15

 

3. В корзине имеются 15 груш и 7 яблок. Нужно выбрать 5 груш и 3 яблока. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Способов выбора 5 груш:

    5

С15 = 1·2·…·10·11·12·13·14·15 = 360360 = 3003

          1·2·3·4·5·1·2·3·4·…·10         120

Способов выбора 3 яблок:

   3

С7 = 1·2·3·4·5·6·7 = 35

        1·2·3·1·2·3·4                                           5           3

Всего указанный выбор можно сделать С15 ·С7 способами:

    5       3

 С15·С7 = 3003·35=105105              Ответ: 105105 способов.

 

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Восемнадцать студентов задержанных по подозрению в организации беспорядков сидят в камерах предварительного заключения по двое. Во время дознания следователь постоянно пересаживает задержанных студентов. Сколько раз может следователь пересадить задержанных студентов по двое, чтобы одинаковых вариантов распределения по камерам не оказалось?
2. Сколько различных опергрупп из 5 человек можно составить в отряде из 25 человек?
3. На плоскости дано 20 точек, из которых никакие 3 не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Сколько всего получилось прямых?
4. В партии из 1200 упаковок лекарств 700 поддельных. Для судебной экспертизы из партии извлекают 200 упаковок. Сколько различных вариантов выборки можно сделать, чтобы среди отобранных упаковок оказалось 120 бракованных?

Вычисление вероятностей.

Вероятность события  количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента. В данном параграфе мы начинаем изучать возможности, предоставляемые теорией вероятности для сравнительного анализа ситуаций, возникающих при различных комбинациях равновероятных событий.

Представим, что у нас проводится эксперимент с пространством  из n элементарных исходов, которые равновероятны. Элементарные исходы являются несовместными событиями (напомним, что несовместные события - это те, которые не могут произойти одновременно), поэтому вероятность каждого из них равна 1/n. Допустим, нас интересует событие А, которое наступает только при реализации благоприятных элементарных исходов, количество последних m (m< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:

Р(А)=m/n

Для любого события А справедливо  неравенство: 0 < P(A) <1.

Пример 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Наугад вынимается один билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: различных исходов в этом примере 1000 (n=1000). В интересующее нас событие А входят 200 исходов (m=200).

Таким образом, 

Пример 2. В коробке лежат 200 белых, 100 красных и 50 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Чему равны вероятности получить шар белого, красного или зеленого цвета?

Решение: Рассмотрим события:

А={вынули белый шар},

В={вынули красный шар},

С={вынули зеленый шар}.

n=350, тогда

 
Пример 3. Бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий:

А={выпала грань  с 6 очками},

В={выпала грань  с четным числом очков},

С={выпала грань  с числом очков, делящимся на 3}?

Решение: n=6. Событию А благоприятствует один исход, событию В - три исхода, событию С - два исхода. Таким образом,

Иногда в задачах  число элементарных исходов бывает так велико, что выписать их все  не представляется возможным. Поэтому  применяются формулы из комбинаторики.

Пример 4. Из колоды в 36 карт вытаскивают три. Какова вероятность того, что среди вынутых карт нет десяток?

Решение: В этом примере элементарным исходом является случайный набор из трех карт. Общее число элементарных исходов равно N=C₃₆³ , элементарные исходы считаем равновозможными. Благоприятных исходов (количество возможных наборов по три карты из той же колоды, но без десяток) 
m=C₃₂³ . Таким образом, вероятность события A {Вынуто 3 карты из 36 и среди них нет десяток}:

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. В урне 12 черных, 7 белых и 9 желтых шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что это шар белого цвета.
2. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Из них 15 выигрывают по 50000 руб., 25 – по 10000 руб., 60 – по 5000 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10 000 руб.?
3. Во время процедуры опознания двух подозреваемых посадили на скамью вместе с восемью другими лицами. Какова вероятность того, что на скамье между подозреваемыми оказалось 3 человека.
4. Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1, 3, 7, 9, но не знает в каком порядке их набирать. Какова вероятность того, что первые две цифры он набрал верно? Какова вероятность того, что преступник откроет сейф с первой попытки?

В партии из 1000 изделий 600 бракованных. Из партии наугад выбирается 300 изделий. Какова вероятность, что среди этих 300 будет ровно 100 бракованных?

Последовательные события и слепой случай.

Теорема умножения вероятностей. 

 

При оценке вероятности наступления  какого-либо случайного события очень  важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность наступления  интересующего нас события от того, как развиваются остальные события.

В случае классической схемы, когда  все исходы равновероятны, мы уже  можем оценить значения вероятности  интересующего нас отдельного события  самостоятельно. Мы можем сделать  это даже в том случае, если событие  является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события?

Если я несколько раз кидаю  игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события.

События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы.

Если два события А и В  независимы, и вероятность каждого  из них известна, то вероятность  одновременного наступления и события  А, и события В (обозначается АВ) можно  посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.

 
Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

 

P(AB) = P(A)*P(B) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁=0,7; р₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.

Решение: как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р₁*р₂=0,56.

Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается.

Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей". Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q₁, q₂, q₁-1, q₂-1).

 

 
Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий.

Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.

Пример. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:

1. из всех жителей города женщин 50%,
2. из всех женщин только 30% красят волосы часто,
3. из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,
4. из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,
5. из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.

 
 
Решение: По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045.

Умножим это значение вероятности на число жителей  города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а  если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля.

И все-таки польза от наших оценок есть.

Во-первых, мы можем  сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные.

Во-вторых, как  мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что  она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять.

Рассмотрим еще  один количественный пример исследования покупательского поведения.

Пример. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов.

Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне  весит всего 100 г?

Обсуждение. Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.

 

 

Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает.

Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок  будет только 1000. Средний вес покупки  равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.