5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с С_iф=0 и λ_iф=1. произведем расчет фиктивных поставок.

      6. Проверяем план на вырожденность:

      5 строк  + 4 столбца -1=8 поставок. Задача  невырожденная.

      Оптимизируем опорный план.

      Определяем  потенциалы строк и столбцов по выражению:

      С_ij= U_i+V_j λ_ij, откуда U_i= С_ij-V_j λ_ij; V_j= (С_ij -U_i)/ λ_ij

      Зададимся потенциалом фиктивной троки: U_ф=0.

      Тогда: V₃=V₂= V₁= V₄=0; U₄=4-5∙0=4; U₃=2-0=2; U₂=4-0=4; U₁=3-0=3

      Определяем  характеристики свободных клеток по формуле:

      Е_ij= С_ij-(U_i+ λ_ij V_j);

      Е₁₂ =4-3-0>0; Е₁₃=5-3-0>0; Е₁₄=6-3-0>0; Е₂₁=5-4-0>0; Е₂₂=6-4>0; Е₂₃=7-4>0; Е₃₂=3-2>0; Е₃₃=4-2>0; Е₃₄=3-2>0; Е₄₁=5-2>0; Е₄₂ =4-2>0; Е₄₄=2-2=0.

      Так как все Е_ij≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е₄₄=0)

      Целевая функция затрат на перевозку:

      F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)

Задача 6

 

      Для обслуживания потребителей предприятие  может выделить 3 вида транспорта А₁, А₂, А_3, получая прибыль, зависящую от спроса на них (В_1,В_2,В₃).

       Определить оптимальную пропорцию  транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль  должна гарантироваться при любом  состоянии спроса.

Решение

 

      Определим верхнюю и нижнюю цену игры.

       А=

      

      Игра  не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной  стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач  линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):

      

      Освобождаясь  от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную  Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.

      

      Z=

      Аналогично  для второго игрока (спрос)

      

      Приведем  данные уравнения к форме без  переменной V:

         (*)

      Нам необходимо определить стратегию первого  игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х₁,х₂,…,х_m) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:

      

      Решаем  задачу симплексным методом.

Базисное  решение Б₁ (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как 0,25+0,25+0=0,5 то V=2.

      Исходные  параметры относительно частот применения стратегий: х₁= 0,5;  х₂=0; х₃=0,5; х₄=0; х₅=0; х₆=0,5; х₇=0,5.

Задача 7

 

     На  двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой  продукции. Затраты, связанные с  производством изделий х на I предприятии, равны 4x₁² руб., а затраты, обусловленные изготовлением х₂ изделий на II предприятии, составляют 48х₂ + 8х²₂ (руб.).

     Определить, сколько изделий на каждом из предприятий  следует произвести, чтобы общие  затраты, обусловленных изготовлением  необходимой продукции, были минимальными.

Решение

 

      f=4x₁²+48х₂ + 8х²₂→min

      х₁+х₂=300

      Составим функцию Лагранжа: F=f+λg

      

      

      

      

      х₁+х₂=300

        ;  х₂=300-х₁

      16(300-х₁)-8х₁+48=0

      Тогда    (деталей)

      х₂ =300-202=88 (деталей)

      Ответ: на первом предприятии следует произвести 202 детали, а на втором – 88 деталей.

Задача 9

 

      Интервал  планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт а дальнейшую эксплуатацию К(τ)= 0,2τ+τ² (р.). Функция замены Р(τ)=10+0,05τ²(р.). Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5.

Решение

 

      Рассчитаем  переходы (затраты на замену и ремонт) оборудования для каждого из возможных состояний τ.

      Произведем  пошаговую оценку альтернативных вариантов  затрат для возможных различных  состояний τ на каждом шаге t, т.е.

      

      Начало  оценивается с последнего t=5 шага.

      Шаг 1; t=5.

      Все состояния на последнем интервале  приравниваются к 0:

      F₈₅=0;  F₇₅=0;  F₆₅=0; F₅₅=0; F₄₅=0; F₃₅=0;  F₂₅=0;  F₁₅=0.

      Шаг 2; t=4.

      

      

      

      

      

      

      

      Шаг 3; t=3.

      

      

      

      

      

      

      Шаг 4; t=2.

      

      

      

      

      

      Шаг 5; t=1.

      

      

      

        

      Шаг 6; t=0.

      

      

      

      

      Функции затрат F₀₀, F₁₀, F₂₀, F₃₀ – затраты на единицу оборудования  соответственно для возраста τ=0,1,2,3 года. Определим стратегию замены и ремонта оборудования каждого возраста. На схеме стратегии выделены стрелками (только оптимальные шаги). Определяем затраты по годам планирования:

      t=1; Q₁= 10*11,2+12*4,4+8*11,4+5*11,65=314,25

      t=2; Q₂= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238