Q₃:  
 
 

     

     Q₄: 
 
 
 
 
 
 

Найдем средние ожидаемые доходы Q_i и риски r_i операций.

Q_i  - это математическое ожидание с.в.  

Q_i  = , где p_i – вероятность получить доход q_i. А среднее квадратическое отклонение (СКО) = - это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать количественной мерой риска операции и обозначить r.  

При этом дисперсия:

D[Q] = M [(Q-Q)²] = M [Q²] – (Q)² 

Q₁ = 0*1/2 + 4*1/4 + 8* 1/8 + 32*1/8= 6

Q₂ = -6*1/2 - 4*1/4 - 2* 1/8 + 10*1/8= -3

Q₃ = 0*1/4 + 8*1/4 + 12* 1/3 + 24* 1/6= 10

Q₄ = -6*1/4 - 2*1/4 + 0* 1/3 – 6*1/6= -3 

Отсюда находим:

r₁² =  M [Q²] – (Q)² = 140-36 = 104

M [Q²] = 0*1/2 + 16*1/4 + 64* 1/8 + 1024*1/8= 140

r₁ =   ≈ 10,2 

r₂² =  M [Q²] – (Q)² = 35 – 9 = 26

M [Q²] = 36*1/2 + 16*1/4 + 4* 1/8 + 100*1/8= 35

r₂ =   ≈ 5,1 

r₃² =  M [Q²] – (Q)² = 160-100 = 60

M [Q²] = 0*1/4 + 64*1/4 + 144* 1/3 + 576*1/6= 160

r₃ =   ≈ 7,75 

r₄² =  M [Q²] – (Q)² = 16-9 = 7

M [Q²] = 36*1/4 + 4*1/4 + 0* 1/3 + 36*1/6= 16

r₄ =   ≈ 2,65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Нанесем средние  ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость (Рис. 1) 

Рис.1 

      Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше – тем более она рискованная. Значит нужно выбирать точку правее и ниже. В данном случае при проведении 2-ой и 4-ой операции наблюдается убыток, т.е. данные операции можно даже не рассматривать с точки зрения доходности. Поэтому будем рассматривать 1-ю и 3-ю операции. Точка (Q`,r`) доминирует точку (Q,r), если Q` ≥ Q и r` ≤ r и хотя бы одно неравенство выполняется как строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 1-ю.  

Для того, чтобы  определить худшую и лучшую операции применяем взвешивающую формулу: φ (Q_i ) = 2Q_i - r_i

Получаем:

φ (Q₁) = 2*6-10,2 = 1,8

φ (Q₂) = 2*(-3) – 5,1 = -11,1

φ (Q₃) = 2*10-7,75 = 12,25

φ (Q₄) = 2*(-3) – 2,65 = -8,65

Видно, что 3-я  операция – лучшая, а 2 - худшая 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8. Матричная модель производственной программы 

   Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает x_j единиц продукции, из которых y_j единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия. 

   Пусть  a_jk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха.

     Числа a_ij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной.

   

                     0,2     0      0,1                           6         0         8

   А  =       0,1       0       0,3               B =      3         0         5                                            
                     0      0,2     0,1                            20        30      15

                                                                      0,1       0,2      0 

Производственная  программа предприятия представляется вектором

X(x₁, …, x_n), а выпуск товарной продукции – вектором У(у₁, … , у_n), где

   

 

     Очевидно, 

   (Е  - А)Х = У   или   Х = (Е  - А)^-1У. 
 

Элементы  любого столбца матрицы (Е - А)^-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца. 

Найдем (Е - А):

Вначале подсчитаем (Е-А): 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Найдем  обратную матрицу матрице E-A

(Е - А) ^-1=

 

 
 

   Итак, полученная матрица коэффициентов  полных затрат: 

 
 

   При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х.  

   X=(Е - А)^-1*Y

   

 
 
 
 
 
 

Итак, вектор производственной программы предприятия:

   

 

     Дополним  структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и  т.п.:

     

 

     Очевидно, затраты получаемых со  стороны материалов определяются элементами матрицы S, где 
 

   S =В * (Е - А)^-1У 

   

Итак, вектор затрат получаемых со стороны материалов:

                                                           S = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 

1. Математические методы принятия решений в экономике: Учебник/В.А.Колемаев, В.И.Малыхин, И.С.Карандаев и др. – М.: Финстатинформ, Москва 1999г.

2. Учебное пособие «Прикладная математика». И.С. Карандаев, В.И. Малыхин, В.И. Соловьев. Москва «ИНФРА-М» 2002 г.

3. Карандаев И.С. Начала линейного, нелинейного и динамического программирования. – М.:Знание,1967г.