Министерство  образования РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Институт  информационных систем управления

Кафедра прикладной математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовой  проект

по  дисциплине «Прикладная  математика»

Вариант №17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

студентка II курса 1 группы

Молодова  А.М.

Проверил  преподаватель:

Никифорова  О.П.  
 

Москва 2011

Содержание

   Задание  на курсовую работу……………………………………………………................3

1. Линейная производственная задача……………………………………….......................6

2. Двойственная задача линейного программирования…………......................................12

3. Задача о "расшивке узких мест производства"………………………………................14

4.Транспортная задача линейного программирования…………………….......................17

5. Динамическое программирование. Задача распределения капитальных вложений....20

6. Динамическая  задача управления производственными  запасами.................................23

7. Анализ доходности и риска финансовых операций...............…………….....................27

8. Матричная модель производственной программы………………………......................30

    Список  использованной литературы……………………………………………….........33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание на курсовую работу

 

1. Составить математическую модель линейной производственно  задачи, имея следующие исходные данные:

     ,

где А – технологическая матрица  затрат различных ресурсов на единицу  каждой продукции, В – вектор объемов  ресурсов, С – вектор удельной прибыли при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов.

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить её методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать «узкие места» производства.

В последней  симплексной таблице указать  обращённый базис  соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения .

Если  по оптимальной производственной программе  какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.  

2. Сформулировать  задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчётных оценок ресурсов, и найти её решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежёсткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценку технологий.

Применить наёденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.  

3.       Сформулировать задачу о «расшивке узких мест производства» и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных     оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о «расшивке узких мест производства» при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объёма ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объёмов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

Составить сводку результатов.

  4.     Составить математическую модель транспортной задачи по следующим      данным:

Вектор  объёма производства

Вектор  объёма потребления 

Матрица транспортных издержек:

Если  полученная модель окажется открытой, то свести её к замкнутой и найти  оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.  

5.       Методом динамического программирования решить задачу распредения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., причем выделяемые суммы должны быть кратны 100 тыс. руб. по следующим исходным данным:

 

6.       Рассмотреть динамическую задачу  управления производством и запасами с исходными данными:

     d₁ d₂ d₃  a b c  h₁ h₂ h₃      y₁

           2 2 2  1 1 5  1 2 4         2 ,

где  d_1,d_2,d₃ - заказ на изделия на каждый месяц, a, b, с – коэффициенты в квадратичной функции, h_1,h_2, h₃ – затраты на хранение единицы изделия для каждого месяца, y₁  - к началу первого месяца на складе имеется 2 единицы изделия. 

7.       Провести анализ доходности и  риска финансовых операций по исходным    данным:

  17. (0,1/2) (4,1/4) (8,1/8) (32, 1/2)

  18. (-6,1/2) (-4,1/4) (-2,1/8) (10, 1/8)

  19. (0,1/4) (8,1/4) (12,1/3) (24, 1/6)

  20. (-6,1/4) (-2,1/4) (0,1/3) (-6, 1/6) 
 
 
 
 
 
 
 

8.       Составить матричную модель производственной программы предприятия   по следующим исходным данным:

          структурная матрица производства  А =

     матрица коэффициентов прямых затрат (затраты  на физический выпуск)

     B = 

      матрица коэффициентов прямых затрат внешних ресурсов  Y =

По  данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.

    

 
 
 
 

1. Линейная  производственная задача

      Задача  о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

      Предположим, что предприятие или цех выпускает  n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наиболее возможным.

      Применим следующие обозначения:

  i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

  j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

  a_ij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

  b_i – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

  x_i – планируемое количество единиц  j-го изделия;

  (x₁, x₂, … , x_n) – искомый план производства. 

Дано:

                  1 4 3 4  120

            A= 3 0 2 2 B= 168 C= (31,10,14,20)

                  2 5 0 3  80 

   Необходимо  сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, (исходные данные взяты из приложения I, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

   Необходимо  преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать ²узкие места² производства.

   В последней симплексной таблице  указать обращенный базис Q^-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q^-1*B

и решить графически.

Решение

 

Математическая  модель задачи имеет вид:

найти производственную программу

          (Х₁,Х₂,Х₃,Х₄) 

максимизирующую прибыль

          Z=31Х₁+10Х₂+14Х₃+20Х₄    

при ограничениях по ресурсам 

   Х₁+4Х₂+3Х₃+4X₄  120

 3Х₁              +2Х₃+2X₄  168

 2Х₁+5Х₂               +3X₄  80 

Где X₁ 0, Х₂ 0,Х₃ 0, Х₄ 0.   

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных X₅, Х₆,Х₇ заменим системой линейных алгебраических уравнений 

Z=31Х₁+10Х₂+14Х₃+20Х₄+0Х5+0Х6+0Х7     =>    max 

  Х₁+4Х₂+3Х₃+4X₄ +X₅= 120

3Х₁             +2Х₃+2 X₄          +X₆  = 168

2Х₁+5Х₂             +3X₄                    +X₇  = 80 

Где X₁ 0, Х₂ 0,Х₃ 0, Х₄ 0, Х₅ 0, Х₆ 0, Х₇ 0. 

Дополнительные  переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.  

Нужно найти  то решение, при котором функция примет наибольшее значение. Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид - дополнительные переменные являются базисными, следовательно, данную задачу мы можем решить симплексным методом. 
 
 
 
 
 
 
 

              Таблица 1