Лекции по "Линейной алгебре и Аналитической геометрии"

Цилиндроиды:

Отсутствует одна из переменных:

3. – Эллиптический цилиндр.
1. – две параллельные прямые.
2. – две параллельные прямые.
3. – Эллипс.
1. – две параллельные прямые.
2. – две параллельные прямые.
3. – Гипербола.
5. – Параболический цилиндр.

Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её матрица:

1. Квадратичная форма многих переменных.
1. Её матрицы.
2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
1. Приведение квадратичной формы к взвешенной сумме квадратов.

Квадратичной формой N переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных: 

Квадратичную форму всегда можно представить в матричном  виде: 

Диагональным, или каноническим видом  квадратичной формы называют её вид в случае, если матрица коэффициентов является диагональной: 

Для выполнения преобразования необходимо установить связь между исходными  и новыми переменными

Линейное преобразование одной  группы переменных: 
такое преобразование, при котором каждая из переменных х – линейная комбинация переменной у:

Если С не вырождена, то есть её определитель не равен нулю, существует обратная к ней матрица, такая, что: 

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо произвести такие преобразования, что бы матрица квадратичной формы стала диагональной.

Условия приведения квадратной матрицы  к диагональному виду:

Если квадратная матрицы порядка п имеет несколько линейно независимых собственных векторов и соответствующих собственных значений, то она может быть приведена к диагональному виду, причём элементы диагональной матрицы являются собственные значения. 

Пример: 

Понятие об ортогонально матрице:

Для того, что бы новая, повёрнутая система координат была прямоугольной  необходимо, что бы матрицы линейных преобразований была ортогональной.

Матрица линейных преобразований называется ортогональной, если её столбцы являются ортогональными арифметическими векторами.

Арифметическим вектором в линейной алгебре называется столбец из нескольких чисел

Скалярным произведением двух векторов одной и той же размерности  называется сумма по парных произведений соответствующих координат.

Нормой вектора называется квадратный корень из его скалярного квадрата.

Матрица С называется ортогональной, если её столбцы нормированы.

Ортогональная матрица обладает следующим  свойством: операцию обращения можно  заменить операцией транспонирования.

Процедура Шмидта ортогонализации  матриц:

Любую систему линейно независимых  векторов, то есть базис п-мерного пространства, можно преобразовать в ортогональную систему векторов с помощью следующей рекуррентной процедуры: 

Любая арифметическая система координат  может быть преобразована в прямоугольную  систему координат:

Доказательство:

Применяя Процедуру Шмидта к  столбцам невырожденной матрицы С можно сделать её ортогональной:

Приведение квадратичной формы  к каноническому виду:

Для этого воспользуемся свойством  собственных векторов и собственных  значений матрицы А. Так как матрица А симметрична, все её собственные значения, среди которых могут быть кратные, являются действительными числами.

Каждому кратности соответствует штук собственных векторов (линейно независимых). Следовательно, полная система собственных векторов матрицы А состоит из п штук, и все они линейно независимы, по этому матрицу из квадратичной формы может быть преобразована к диагональному виду: 

Так как все столбцы линейно  независимой матрицы Т можно сделать ортогональными с помощью процедуры Шмидта, и нормированными, то: 

В результате матрицу квадратичной формы можно представить в  виде: , тогда подставив это выражение в формулу квадратичной формы, получим:

Замена 

Любую квадратичную форму можно  преобразовать с помощью линейного  ортогонального преобразования в новые  переменные, при этом старые и новые  переменные будут связаны  , где U состоит из ортогональной и нормированной системы собственных векторов матрицы А квадратичной формы, при этом весовыми коэффициентами канонического представления являются собственный значения матрицы А.

Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных:

1. Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных.
1. Критерии знакоопределенности.
1. Собственных значений.
2. Сильвестра.

Понятие знакоопределённости квадратичной формы используется для:

1. Определение типа кривой или поверхности второго порядка по её общему уравнению.
2. При исследовании функции многих переменных на экстремум, так как достаточным условием является знакоопределенность второго дифференциала. 
   

Квадратичная форма называется положительно определённой, если она  при любых ненулевых значениях своих аргументов принимает только положительные значения.

Если квадратичная форма меньше, либо равна нулю, то она отрицательно полу определена, иначе не определена.

Критерии знакоопределённости  квадратичной формы:

Критерий собственных значений матрицы:

Приведём квадратичную форму к  каноническому виду: 
, тогда для всех х – у не равно нулю, так как квадрат не нулевых чисел больше нуля. Ответственность за знак квадратичной формы несу её коэффициенты.

1. Если все собственные значения больше нуля, то квадратичная форма тоже больше нуля.
2. Если все собственные значения меньше нуля, то квадратичная форма тоже меньше нуля.
3. Если все собственные значения больше, либо равны нулю, то квадратичная форма тоже меньше нуля.
4. Если некоторые собственные значения равны нулю, а остальные меньше, то квадратичная форма отрицательно полу определена.
5. Если некоторые собственные значения больше нуля, а остальные меньше, то квадратичная форма может иметь любой знак.

Знакоопределённость квадратичной формы  совпадает со знаками собственных значений её матрицы, то есть критерий собственных значений является полным, но трудоёмким, так как для вычисления собственных значений необходимо решить характеристическое уравнение матрицы.

Критерий Сильвестра:

Критерий Сильвестра позволяет выделить положительную и отрицательную знакоопределённость квадратичной формы с помощью вычисления нескольких определителей, являющихся угловыми минорами квадратичной формы.

После вычисления миноров суждение о знакоопределенности квадратичной формы выносится по следующему правилу:

1. Если все угловые миноры положительны, то квадратичная форма положительно определена.
2. Если угловые миноры чередуются знаком, начиная с минуса, то есть: ,то квадратичная форма отрицательно определена.
3. Если идёт чередование знаков, начиная с плюса, или любое другое сочетание знаков, или существуют миноры, равные нулю (последний минор не равен нулю), то форма знака неопределенна.
4. Если последний минор равен нулю, в этом случае критерий Сильвестра не различает знакоопределённости формы, и необходимо использовать другой критерий.

Это свидетельствует о грубости метода.

 

Для заметок

¹ Для вычисления разности необходимо умножить вычитаемое на минус единицу и сложить получившиеся компоненты.

² Порядки матриц считаются согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

³ Единичным называется такой вектор, который имеет единичную и колиниарен (параллелен) данному.

⁴ Комплонарные вектора – вектора, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях

⁵ Тройка векторов называется правой, если из третьего вектора кротчайший поворот от первого ко второму виден, как поворот против часовой стрелки.

— —

— —