Лекции по "Линейной алгебре и Аналитической геометрии"

Базисный минор – это минор номинального порядка, не равный нулю.

Произвольная матрица, каждый столбец, или строка которой является линейной комбинацией строк, или столбцов, входящих в базисный минор.

Рангом матрицы называется порядок её базисного минора.

Теорема о ранге.

Ранг матрицы соответствует  количеству её линейно независимых  строк, или столбцов.

Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров:

Пусть в матрице найден минор  порядка к, отличный от нуля, тогда достаточно рассмотреть лишь те миноры к+1 порядка, которые содержат внутри себя, то есть окаймляют минор к-ого порядка.

Если все они равны нулю, то минор к-ого порядка – базисный минор, а ранг матрицы равен рангу базисного минора, то есть матрица – к-ого порядка, ну а если существуют миноры, не равные нулю, ранг которых больше к, то операцию поиска необходимо продолжать. к:=л+1;

Пример:

М₂ – базисный минор, ранг матрицы равен двум.

Вопрос № 10: Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований:

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка строк, или столбцов матрицы.
2. Умножение строки, или столбцы на число, отличное от нуля.
3. Сложение строк (столбцов) матрицы.

Теорема об элементарных преобразованиях  матрицы:

При элементарных преобразованиях  ранг матрицы не изменяется, поэтом при помощи элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому, или блочно треугольному виду, по которому ранг можно определить визуально.

Пример:

Правило определения ранга матрицы  и её базисного минора:

1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её не нулевых строк.
2. Базисный минор ступенчатой матрицы содержится среди элементов её не нулевых строк и такого же количества её столбцов, взятых по одному из каждой ступеньки.

Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели:

1. Теорема Кронекера-Капели.
2. Общий метод решения систем из т алгебраических уравнений с п неизвестными.

Условие совместности

Рассмотрим произвольную систему  из т уравнений с п неизвестными: 
, тогда ,

Теорема Кронекера-Капели:

Система совместна, если ранг расширенной  матрицы равен рангу матрицы  коэффициентов.

Доказательство:

Необходимое условие:

Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы  коэффициентов равны.

Следовательно, столбец свободных  членов линейно зависит от столбцов матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы содержат тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы. Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

Достаточное условие:

Применим правило Крамара к  произвольной системе. 
Пусть система совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда переставим уравнения системы, и перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем углу.

Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все остальные – свободными.

Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы  являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или ранг базисного минора.

Перенесём свободные переменные направо, тогда получится система следующего вида: 
, тогда у этой укороченной системы определитель . Число уравнений равно числу неизвестных, следовательно, к этой системе можно применить правило Крамара. 
, , таким образом правило Крамара позволяет выразить базисные элементы через свободные. В результате придавая свободным переменным значения: , где С – произвольное действительное число. . Отсюда следует: 
– множество решений системы уравнений содержит n-r произвольных постоянных, то есть является многопараметрическим.

Частный случай, когда ранг системы  равен рангу матрицы коэффициентов, тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система имеет единственное решение.

Система линейных алгебраических уравнений  имеет одно единственное решение, если она совместна, и её ранг равен  количеству переменных.

Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:

1. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.
1. Матричная форма записи.
2. Прямой и обратный ход.

Метод последовательного исключения неизвестных заключается в решении  системы алгебраических уравнений с одновременным исследованием её на совместность.

Метод реализуется в два этапа:

Прямой ход метода:

Прямой ход метода Гаусса заключается  в преобразовании расширенной матрицы  коэффициентов системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, то есть как при нахождении ранга матрицы и базисного минора, но только со строками матрицы. При этом само преобразование к ступенчатому виду с помощью нескольких шагов, на каждом из которых исключается одна переменная, то есть обнуляется нижний элемент одного из столбцов.

В результате выполнения нескольких шагов матрица оказывается приведённой  к ступенчатому виду. На этом этапе  можно определить ранг матрицы и  системы.

Если ранг расширенной матрицы  равен рангу матрицы коэффициентов, то система считается совместной, в противном случае система не совместна.

Если количество уравнений равно  количеству неизвестных, то система  имеет единственное решение, если ранг системы меньше числа неизвестных, то количество решений бесконечно.

Обратный ход метода:

Если решение единственно: 

Вопрос № 13: Однородная система линейных алгебраических уравнений:

1. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
1. Свойства.
2. Теорема о существовании линейно независимых решений.
1. Доказательство.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Однородная система всегда совместна. Существует только одно решение.

Теорема о существовании не нулевых  решений однородной системы:

Однородная система имеет не нулевые решения тогда, когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных.

Доказательство:

Не единственность решения   

Однородная система с одинаковым количеством уравнений и неизвестных  имеет не нулевые решения тогда, когда определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Теорема:

Любая линейная комбинация решений  однородной системы сама является её решением: 

Доказательство:

Пусть существуют два решения,  

Теорема о существовании линейно  независимых решений:

Путь ранг системы равен рангу  матрицы коэффициентов и меньше числа неизвестных, тогда существует число линейно независимых решений, равное разности количества переменных и ранга системы.

Доказательство:

Пусть базисный минор содержится в  левом верхнем углу матрицы.

Строки, не входящие в базисный минор  можно отбросить, а свободные  неизвестные перенести через  знак равенства. 

Вопрос № 14: Фундаментальная система решений однородной системы уравнений:

1. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений.
2. Структура общего решения однородной и не однородной системы уравнений.

Структура общего решения однородной системы уравнений:

ФСР называется система из n-r линейно независимых частных решений 

Теорема: Общее решение однородной системы уравнений:

Общим решением однородной системы  линейных уравнений является линейная комбинация столбцов фундаментального решения. 

Структура общего решения не однородной системы уравнений:

Рассмотрим систему линейных уравнений: Неоднородная система  , однородная система:

Теорема:

Разность двух решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы.

Доказательство:

Пусть столбец α является решением неоднородной системы , β – решение системы , тогда после вычитания одного из другого получим: удовлетворяет однородной системе. Из теоремы следует, что общее решение однородной системы является суммой какого-либо её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы

Вопрос № 15: Собственные векторы и собственные значения матрицы:

1. Собственные векторы матрицы.
2. Собственные значения матрицы.
1. Определение.
2. Свойства.

Арифметическим собственным вектором квадратной матрицы А порядка п называется такой не нулевой столбец: 
, где λ – собственной значение матрицы.

У каждой матрицы может быть пара из собственных векторов и собственных  значений.

Множество всех собственных значений матрицы называется спектром. 
– ненулевые решения однородной системы уравнений.

Однородная система имеет ненулевые  решения, если ранг матрицы В равен количеству коэффициентов.

– характеристическое уравнение  матрицы А.

Рациональное алгебраическое уравнение степени N. Всегда имеет N корней, среди которых могут быть и кратные.

Если определитель матрицы А равен нулю, то характеристический многочлен не содержит свободных членов.

У вырожденной матрицы хотя бы одно значение равно нулю.

…???

При этом сами фундаментальные решения  образуют систему линейно независимых  уравнений.

Свойства собственных векторов и собственных значений матрицы:

1. Максимальное количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих данному собственному значению .
2. Линейная комбинация из собственных векторов соответствует одному и тому же, в свою очередь являющемуся собственным вектором для этого собственного значения.
3. Собственные векторы с попарно различными «???» значениями являются ???
4. Если матрица А^Т=А, то все её собственные значения являются действительными числами.
5. Спектр вырожденной матрицы А содержит хотя бы один нулевой элемент.
6. Если матрица имеет пары ??? комплексные сопряженные ¿¿¿, То соответствующие им собственные векторы тоже комплексные.

Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы:

Для вычисления собственных значений матрицы необходимо составить характеристическое уравнение:  
составив уравнение можно найти его корни, они-то и будут собственными значениями матрицы.

Собственные векторы матрицы соответствуют  собственным значениям матрицы.

Вопрос № 17: Линейные операции над векторами:

1. Линейные операции над векторами.
2. Базис.
3. Координаты вектора.
4. Аффинная система координат.
1. На плоскости.
2. В пространстве.
5. Прямоугольная система координат.
1. На плоскости.
2. В пространстве.

Аналитическая геометрия – это методы решения геометрических задач с помощью аналитических операций.

Векторная алгебра:

• Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, который можно переносить параллельно самому себе.
• Модулем вектора называется его длина.
• Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.
• Коллинеарными называются вектора, лежащие на параллельных прямых.
• Равными называются коллинеарные, со направленные вектора, имеющие одинаковую длину.
• Компланорными называются векторы, расположенные в одной и той же, или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами:

1. Сложение: 
   
2. Умножение на число: 
    
   Вектор, умноженный на минус единицу меняет своё направление 
   на противоположенное.
3. Вычитание: 
   – это сложение с вектором, умноженным на минус единицу³.

Теорема о взаимной колиниарности векторов:

Для всех векторов а, не равных нулю, все вектора в колиниарны а, то вектор в можно представить, как произведение вектора а на некоторое ненулевое число.

Свойства линейных операций над  векторами:

Линейная зависимость и независимость  геометрических векторов:

Линейной комбинацией геометрических векторов называется вектор

Системой из N векторов называется линейно независимой, если ни один из них не является и не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов этой системы.