Лекции по "Линейной алгебре и Аналитической геометрии"

Московский Авиационный  Институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекции по: 
Линейной алгебре и Аналитической геометрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

2002 г.

 

Содержание:

Вопрос № 1: Матрица, вид матриц 3

Вопрос № 2: Определитель п-ного порядка 5

Вопрос № 3: Свойства определителей 6

Вопрос № 4: Обратная матрица 7

Вопрос № 5: Свойство обратной матрицы 8

Вопрос № 6: Системы линейных алгебраических уравнений 9

Вопрос № 7: Линейная зависимость и линейная независимость 
строк и столбцов матрицы 11

Вопрос № 8: Миноры матриц 12

Вопрос № 9: Вычисление миноров матриц методом окаймляющих миноров 13

Вопрос № 10: Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований 14

Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели 15

Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения 
неизвестных 17

Вопрос № 13: Ортонормированная система линейных 
алгебраических уравнений 18

Вопрос № 14: Фундаментальная система решений однородной 
системы 19

Вопрос № 15: Собственные векторы и собственные значения 
матрицы 20

Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных 
значений матрицы 21

Вопрос № 17: Линейные операции над векторами 22

Вопрос № 18: Скалярное произведение векторов 25

Вопрос № 19: Векторное произведение векторов 26

Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов 27

Вопрос № 21: Прямая на плоскости 29

Вопрос № 22: Плоскость в пространстве 30

Вопрос № 23: Прямая в пространстве 32

Вопрос № 24: Три типа взаимного расположения двух прямых в пространстве 33

Вопрос № 25: Кривые второго порядка 34

Вопрос № 26: Поверхности второго порядка: Эллипсоид, конус и гиперболоид 36

Вопрос № 27: Поверхности второго порядка: Параболоиды и Цилиндроиды 39

Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её 
матрица 40

Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных 44

 

Вопрос № 1: Матрица, виды матриц:

1. Матрица.
1. Виды.
2. Операции над матрицами.
1. Свойства.

А – матрица называется прямоугольной таблицей чисел, состоящей из m строк и п столбцов.

Элемент матрицы, стоящий на пересечении i строки и j столбца, принято , в результате всю матрицу можно записать в такой форме: 

Частные виды матриц:

1. Матрица – строка.
2. Матрица – столбец.
3. Матрица – число.
4. Нулевая матрица –
5. Квадратная матрица.
1. Единичная  
   – все элементы нули, кроме элементов главной диагонали
2. Треугольная
1. Верхняя
2. Нижняя
3. Диагональная

Равными называют матрицы одного порядка, соответствующие элементы которых равны между собой.

Операции над матрицами:

1. Сложение¹ – суммой двух матриц А и В одного порядка называют матрицу С того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов двух первых матриц. 
   Матрицы разных порядков сложению не подлежат.
2. Умножение матрицы на число: Произведение матрицы и числа – есть матрица того же порядка, каждый элемент которой умножен на число.
3. Произведение матриц согласованных² порядков: 
   
4. Транспонирование – это операция, при которой элементы строк матрицы А становятся элементами столбцов матрицы В.

Свойства линейных операций над  матрицами:

1. А+В=В+А
2. А+(В+С)=(А+В)+С
3. а(А+В)=аА+аВ
4. (а+в)А=аА+вА
5. а(вА)=(ав)А
6. (А+В)^Т=А^Т+ В^Т
7. А-В=А+(-1)В
8. А-А=0

Следствие:

(аА+вВ)^Т=аА^Т+вВ^Т

Свойства умножения матриц:

2. АВС=А(ВС)≠(АС)В
3. А(В+С)=АВ+АС
1. С(А+В)=СА+СВ
2. (С+В)А=ВА+СА
6. (АВ)^Т=В^ТА^Т
7. (А^Т)^Т=А

Замечание:

Вопрос № 2: Определители n-ного порядка:

1. Определители п-ного порядка.
1. Определение
2. Минор элемента.
3. Алгебраическое дополнение элемента.
4. Способы вычисления определителей.
1. Понижение порядка.
2. Приведение к треугольному виду.

Определитель квадратной матрицы  – число, которое вычисляется по следующему правилу: 

Пример:

Правило треугольников:

Минор:

Минором квадратной матрицы п-ного порядка называется определитель п-1-ого порядка, полученный из определителя матрицы А вычёркиванием i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическое дополнение:

Алгебраическим дополнением  называется минор этого элемента, взятый с определённым знаком, который определяется по формуле:

Теорема о понижении порядка  определителя:

Теорема утверждает, что любой определитель равен сумме по парных произведений всех элементов какой либо строки (столбца) на алгебраические дополнения.

Вопрос № 3: Свойства определителей:

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
2. При перестановке двух строк определителя, он меняет свой знак, но по абсолютной величине не меняется.
3. При умножении определителя на число, достаточно умножить любую строку на это число.
4. Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.
5. Свойство упрощения определителя: 
    Определитель не изменяется, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой его строки, предварительно умножив их на одно и тоже любое число.
6. Сумма определителей, отличающихся одной строкой, равна определителю с теми же элементами, у которого вместо различных строк стоит строка из суммы элементов различных строк.
7. Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.
8. Сумма попарных произведений элементов кокой либо строки и алгебраических дополнений соответствующих элементов другой строки равна нулю.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
10. Определитель треугольной матрицы равен произведению своих диагональных элементов.

Вопрос № 4: Обратная матрица:

1. Обратная матрица.
1. Теорема единственности существования обратной матрицы.
1. Доказательство.

Обратная матрицы служит для  решения матричных уравнений и заменяет операцию деления матриц.

Обратной к квадратной матрице А_п называется матрица А_п^-1, которая при умножении на исходную, как справа, так и слева, даёт единичную матрицу.

Порядок:

Единственность обратной матрицы:

Если у матрицы А существует обратная матрицы А^-1, то она единственна.

Доказательство:

Предположим, что существует: 
, тогда , что и требовалось доказать.

Вопрос № 5: Свойства обратной матрицы, алгоритм её вычисления:

1. Свойства обратной матрицы.
1. Алгоритм вычисления.
2. Решение простейших линейных матричных уравнений.

Существование обратной матрицы:

Если для матрицы А существует обратная, то

Доказательство:

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, или особенной.

Вырожденная матрица не имеет обратной.

Вычисление обратной матрицы:

Для любой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, элементы которой вычисляются по формуле: 

Доказательство:

Проверим справедливость определения  квадратной матрицы: 

 

Эта теорема даёт возможность получения  обратной матрицы при помощи присоединённой: 

Обратная матрица равна произведению присоединённой на величину, обратную определителю матрицы А.

Свойства операции обращения:

1. (АВ)^-1=В^-1А^-1
2. (аА)^-1=а^-1А^-1
3. (А^-1)^-1=А
4. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т

Решение простейших линейных матричных  уравнений:

5. – Не решаемо.

Вопрос № 6: Системы линейных алгебраических уравнений:

1. Системы линейных алгебраических уравнений.
1. Основные понятия.
2. Матричная форма записи.
2. Правело Крамара.

Система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными: 

На основе такой записи можно  составить матрицу коэффициентов: 
, столбец неизвестных: , и столбец свободных членов: , тогда систему можно записать в виде матричного уравнения:

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется упорядоченная последовательность чисел, подстановка которых вместо соответствующих неизвестных в систему обращает каждое из её уравнений в арифметическое тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Решить систему линейных алгебраических уравнений, значит доказать, что она не совместна, а если она совместна, значит получить либо единственное решение, либо множество решений.

Правило Крамара:

Если определитель матрицы коэффициентов  системы с одинаковым количеством уравнений и неизвестных не равен нулю, то эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью определителей по формуле: 
где – матрица, получаемая путём замены i ого столбца на столбец свободных членов.

Доказательство:

Если количество неизвестных не равно количеству уравнений, или определитель матрицы коэффициентов равен нулю, то правило Крамара не применяется.

Вопрос № 7: Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы:

1. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы.
1. Определение.
2. Свойства.
2. Общее условие равенства нулю определителя.

– линейная комбинация столбцов того же порядка, если его можно представить в виде взвешенной суммы. 
– коэффициент линейных комбинаций, или весовой коэффициент.

Пусть

Система и п столбцов одного и того же порядка называется линейно зависимой, если существуют такие , что линейная комбинация равна , следовательно хотя бы один из этих столбцов является , либо может быть выражен в виде линейной комбинации других столбцов.

Система из п столбцов является линейно независимой, если равенство их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все весовые коэффициенты – нули.

Свойства:

1. Дополнения к линейно зависимой системе любых других столбцов приводит к ассиметричной линейной зависимости.
2. Исключение из линейно-независимой системы любых столбцов даёт независимую подсистему.

Необходимое и достаточное условие  равенства нулю определителя матрицы:

Для того чтобы определитель матрицы  был равен нулю необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из его столбцов или строк был линейной комбинацией остальных, или чтобы столбцы, или строки были линейно зависимы.

Вопрос № 8: Миноры матриц:

1. Миноры матриц.
1. Определение.
2. Свойство.
2. Базисный минор.
1. Теорема о базисном миноре матрицы.
3. Ранг матрицы.
1. Теорема о ранге матрицы.

Минором матрицы порядка к называют определитель , составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольным образом выбранных к-ых строк и к-ых столбцов этой матрицы. 

Базисный минор:

Базисным минором матрицы А называется такой минор порядка r, который не равен нулю, а все миноры рангом выше равны, или не существуют.

Свойство:

Если в матрице все миноры М_к равны нулю, то все миноры высших порядков так же будут равны нулю, так как они вычисляются по элементам строк и столбцов, а значит выражаются через М_к.