Квадратные формы

 

Останньому рівнянню задовольняє  два рішення . Перше рішення мае вид:      

 

Отже,      

 

Інтегруючи це просте рівняння, отримуємо:      

 

де C − довільна константа. Щоб Знайти значення C, підставимо отриману відповідь в вихідне дифференціальне рівняння:      

 

Видно, що константа C повинна дорівнювати нулю, щоб задовольнити рівняння. Отже , перше рішенння виражене функцією      

 

Тепер розглянемо друге решення, котре визначаеться дифференціальним рівнянням.      

 

Тоді ,      

 

На початку рішення ми записали дифференціальне рівняння в формі :     

 

Підставляємо відому рівність для x (як функцію параметра p), щоб знайти залежність y від p:      

 

Таким чином, друге рішення описуться в параметричній формі наступною системою рівнянь:      

 

де C − довільна константа. Кінцева відповідь така:      

 

 

 

 

 

3.Якщо рівняння F(x,y,y')=0, можливо вирішити відносно х: x=f(y,y'), то також як в випадку (2) вводимо параметр p=y'=dy/dx

 

Приклад 5.

  y = ln(25 + (y')²).

 
Рішення.      

 

Візьмемо дифференціали від обох частин:      

 

Оскільки dy = pdx, то одержуемо:      

 

Тепер можна проінтегрувати останні рівності і знайти x як функцію p.      

 

В результаті ми отримаємо наступне параметричне представлення рішення дифференциального рівняння:      

 

де C – довільна константа .

                                                         Приклад 6. 
x = (y ') ^3 + y'; 
y '= p, підставляємо в рівняння: 
x = p^3 + p; 
dx = pdy; 
dx = d (p^3 + p); 
dx = (3p^2 +1) dp; 
pdy = (3p^2 +1) dp; 
dpdy = 3p^3 + p; 
y = 43p^4 +2 p^2 + C; 
Рішення: 
x = p^3 + p; 
y = 43p^4 +2 p^2 + C.

 

Рівняння  Лагранжа y=xφy'+Ψ(y') і рівняння  Клеро y=xy'+Ψ(y')

Рівняння  Лагранжа

Приклад 7.

.

Розв'язання. Покладемо . Маємо , ,

, .

Отримали лінійне рівняння

.

Його розв’язок

,     

      

– загальний  розв’язок нашого рівняння в параметричній  формі. Або, виключаючи , отримаємо

.    

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

.

Перший розв’язок  – особливий, другий – частинний.

 

 

Приклад 8

Знайти загальне і особливе рішення рівняння 2y - 4xy '- ln y' = 0. Тут ми знову маємо справу з рівнянням Лагранжа. Вважаючи y '= p, можна записати:

       
Диференціюємо обидві частини рівняння:

 
Оскільки dy = pdx, то отримуємо:

      
При розподілі на p, ми втратили корінь p = 0, який відповідає рішенню y = 0. 
Таким чином,ми отримуємо лінійне диференціальне рівняння для функції   x (p). Вирішимо його за допомогою інтегруючого множника:

    
Функція x (p) визначається формулою

      
Підставляючи це в вихідне рівняння, знаходимо параметричне вираз для y:

       
Отже, загальне рішення рівняння в параметричній формі записується у вигляді:

  
Щоб знайти особливе рішення, вирішимо наступне алгебраїчне рівняння:

     
Звідси випливає, що y = C. Шляхом прямої підстановки можна переконатися, щопостійна C повинна бути дорівнює нулю.Отже,задане диференціальне рівняння має особливе рішення y = 0. Ми вже зустрічалися з цим коренем вище при розподілі рівняння на p.

 

 

 

 Рівняння  Клеро

 

Приклад 9

Як видно, це рівняння є рівнянням Клеро. Введемо параметр у '= р:

Диференціюючи обидві частини рівняння по змінній х, отримуємо:

   
Оскільки ду = PDX, то можна записати:

        
Розглянемо випадок ар = 0. Тоді р = С. Підставляючи це в рівняння, знаходимо спільне рішення:

        
Графічно це рішення відповідає однопараметричному  сімейству прямих ліній. Другий випадок описується рівнянням. 

Знайдемо відповідне параметричне вираздля у:

Параметр р можна виключитиз формул для х і у.Зводячи останні рівняння вк-авадрат і складаючи їх, отримуємо:

Отриманий вираз є рівнянням кола радіусом 1, розташованим на початкукоординат. Таким чином, особливе рішення представляється одиничної окружністю в площині xy,

 

Список використаної літератури

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М. : Наука, 1985, - т.1. – 432 с.
2. Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої математики. – Хмельницький, 1999. – ч.1. – 437 с.
3. Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої математики. – Хмельницький, 2000. – ч.2. – 315 с.
4. Маслова Л.О Диференціальні рівняння у прикладах та задачах , 2003, –217c.
5. Богданського Ю,В. Диференціальні рівняння. –К. : НТУУ "КПІ",  2011, – 213 с. 
6. Парасюк І.О. Вступ до якісної теорії диференціальних рівнянь. - К. : ВПЦ КУ, 2005. - 88 с. В.І.
7. Смирнов "Курс вищої математики", том другий, видавництво "Наука", Москва 1974.
8. Н.С. Піскунов "Диференціальне та інтегральне числення", том другий, видавництво "Наука", Москва 1985
9. К.Н. Лунгу, В.П. Норін та ін "Збірник завдань з вищої математики", другий курс, Москва: Айріс-прес, 2007