Квадратные формы

План

Вступ  

Розділ 1. Теоретична частина

       1.1 Диференціальні рівняння першого порядку

       1.2 Диференційні рівняння, не розв’язані відносно похідної

       1.3 Рівняння Лагранжа і Клеро. 

Розділ 2. Практична частина

2.1 Приклади рішень рівнянь першого порядку  із розділяючими  змінними  (і ті що зводяться до них)

      2.2 Рівняння, не розв’язані відносно  похідної. F (x, y, y ') = 0.

       2.3 Рівняння  Лагранжа і рівняння  Клеро

Висновки

Список  використаних джерел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить  невідому функцію та її похідні, називається  диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння 

y''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить  незалежна змінна, невідома функція  і її похідна, то це рівняння називається  диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє  диференціальне рівняння, називають  розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтегруванням. Наприклад, функція у = e^x є розв'язком диференціального рівняння у — у' = 0, бо (є^x)' = e^x.

У різних областях сучасної науки техніки зустрічаються процеси, які описуються за допомогою диференціальних рівнянь, недозволених щодо похідної. Такі рівняння з'являються в математичній економіці (рівняння міжгалузевого балансу), теорії електричних ланцюгів, теорії марковських процесів, в задачах оптимального управління, в задачах хімічної кінетики і т.д..Ми будемо розглядати лінійні диференціальні рівняння першого порядку,не розв’язані відносно похідної.

Об'єкт  дослідження: теорія звичайних диференціальних рівнянь.

Предмет дослідження: диференціальні рівняння, не розв’язані відносно похідної.

Мета дослідження: з’ясувати типи диференціальних рівнянь, не розв’язаних  відносно похідної і методи їх розв’язання.

 

Завдання:

1) Проаналізувати літературу за темою дослідження;

2) Ознайомитися з поняттям диференціальних рівнянь першого порядку,розглянути типи диференціальних рівнянь, не розв’язаних відносно похідної;

3) Дослідити прийоми і методи розв’язування диференціальних

рівнянь, не розв’язаних  відносно похідної;

4) Застосувати набуті знання до розв’язання прикладних задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ  РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

 

Основні поняття

Диференціальне  рівняння першого порядку у загальному випадку можна записати у вигляді

                                           (1.1)

Рівняння зв'язує незалежну  змінну x, шукану функцію y і її похідну у'. Якщо рівняння (1.1) можна подати відносно , то його записують у виді

=f(x;y)                                               (1.2)

і називають ДР першого порядку, розв’язаним відносно похідної. Ми в основному будемо розглядати цю форму запису ДР.

Рівняння (1.2) встановлює зв'язок (залежність) між координатами точки

(x; y) і кутовим коефіцієнтом дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку. Отже, ДР = f(x; y) дає сукупність напрямків (поле напрямків) на площині Оxy. Таке геометричне тлумачення ДР першого порядку.

Крива, у всіх точках якої напрямок поля однаковий, називається ізокліною. Ізоклінами можна користуватися для наближеної побудови інтегральних кривих. Рівняння ізокліни можна одержати, якщо покласти =с, тобто f(x; y) = с.

Приклад 1. За допомогою ізоклін накреслити вид інтегральних кривих рівняння = 2x.

 Розв'язання: Рівняння ізоклін цього ДР буде

2х = с, тобто ізоклінами тут будуть прямі, паралельні осі (х = ). У точках прямих проведемо відрізки, що утворять з віссю Ох той самий кут α, тангенс якого дорівнює с,

Так, при с = 0 маємо х = 0, = 0, тому α = 0;

при с = 1 рівняння ізокліни х = , тому = 1 і  
α = 45°;

при с = -1: х = - , = -1, α = -45°;

при с = 2: x= l, = 2, α = arctg2 63° і т.д.

Побудувавши чотири ізокліни і відмітивши на кожній з них ряд стрілочок, нахилених до осі Ох під визначеним кутом (див. рис. 2), по їхніх напрямках будуємо лінії. Вони, як видно, являють собою сімейство парабол.

Диференціальне  рівняння першого порядку, розв’язане відносно похідної, можна записати у диференціальній формі:

,                                              (1.3)

де Р(х;у) і Q(x;y) — відомі функції. Рівняння (1.3) зручно тим, що змінні та у ньому рівноправні, тобто кожну з них можна розглядати як функцію іншої. Відзначимо, що від одного виду запису ДР можна перейти до іншого.

Інтегрування ДР у загальному випадку приводить до нескінченної кількості розв’язків (що відрізняються один від іншого сталими ). Легко здогадатися, що розв'язком  рівняння = 2х є функція y = x², а також  
у = х² + 1, у = х² - і взагалі y = х² + c, де c - const.

Щоб розв'язок ДР набув конкретного сенсу, його треба підкорити деяким додатковим умовам.

Умова, що при функція повинна  дорівнювати заданому числу тобто = називається початковою умовою. Початкова умова записується у вигляді

 

або                                          (1.4)

Загальним розв'язком  ДР першого порядку називається функція , що містить одну довільну постійну і задовольняє умовам:

1. Функція є розв'язком  ДР при кожнім фіксованому значенні с.
2. Яке б не була початкова умова (1.4), можна знайти таке значення постійної , що функція задовольняє даній початковій умові.

Частинним розв'язком  ДР першого порядку називається будь-яка функція , отримана з загального розв'язку при конкретному значенні постійної .

Якщо загальний розв'язок ДР знайдений у неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння , то таке розв'язок називається частинним інтегралом ДР. Рівняння у цьому випадку називається частинним інтегралом рівняння.

З геометричної точки зору є сімейство інтегральних кривих на площині ; частинний розв'язок — одна крива з цього сімейства, що проходить через точку .

Задача відшукання розв’язку ДР першого порядку (2.3), що задовольняє заданій початковій умові (2.4), називається задачею Коші.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної

 

Диференціальне рівняння першого  порядку, не розв’язане відносно похідної, має такий вигляд

1) Рівняння вигляду  . Нехай алгебраїчне рівняння має по крайній мірі один дійсний корінь  . Тоді, інтегруючи , одержимо . Звідси і вираз містить всі розв’язки вихідного диференціального рівняння.

2) Рівняння вигляду  . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

Використовуючи  співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний  розв’язок в параметричній формі  має вигляд

3) Рівняння вигляду  . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

 

Використовуючи  співвідношення , отримаємо   і . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний  розв’язок в параметричній формі  має вигляд

4) Параметризація загального вигляду. Нехай диференціальне рівняння   вдалося записати у вигляді системи рівнянь з двома параметрами

.

Використовуючи  співвідношення , одержимо

.

Перегрупувавши  члени, одержимо

.

Звідси 

.

Або отримали рівняння вигляду

.

Параметризація загального вигляду  не дає інтеграл диференціального рівняння. Вона дозволяє звести диференціальне рівняння, не розв’язане відносно похідної, до диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.

5) Нехай рівняння можна розв’язати відносно і воно має -коренів, тобто його  можна записати у вигляді .

Розв’язавши кожне з рівнянь  , отримаємо загальних розв’язків (або інтервалів) (або ). І загальний розв’язок вихідного рівняння, не розв’язаного відносно похідної має вигляд

 або  .

Рівняння Лагранжа і Клеро.

 

Рівняння Лагранжа

Це рівняння має вигляд

.        (3.1)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо  . Тоді

.       (3.2)

З (3.29) маємо

,    

.     (3.3)

Диференціальне рівняння (3.30) лінійне по

.       (3.4)

Нехай – розв'язок диференціального рівняння (3.4). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

.      (3.5)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

,         (3.6)

тобто

,         (3.7),

де  – корені рівняння (3.6). Розв'язок (3.7) може бути частинним або особливим.

 

 

 

 

 Рівняння Клеро.

 

Це рівняння – частинний  випадок рівняння Лагранжа, коли

.        (3.8)

Покладемо , тоді

.        (3.9)

Використовуючи  , отримаємо . Звідки

.        (3.10)

Рівняння (3.37) розпадається на два

.       (3.11)

Перше рівняння (3.38) дає  , підставляючи його в (3.35) будемо мати загальний розв’язок

.        (3.12)

Друге –  , разом з (3.35) утворює параметричний розв’язок

.       (3.13)

Розв’язок (3.40) є особливим, так  як він співпадає з обвідною. Дійсно

,

звідки

.       (3.14)

Дискримінантна крива (3.14) співпадає з розв’язком (3.13).

 

 

 

 

 

 

Практична частина

Приклади рішень рівнянь першого порядку  із розділяючими  змінними  (і ті що зводяться до них)

1.Загальні вид y '= f (x) * g (y), х ∈ (a, b), Або m (x) * n (y) dy +p (x)* * q (y) dx = 0,х ∈ (a, b) Для  вирішення  такого  рівняння,  треба  обидві частини   помножити   або розділити  на  такий вираз  щоб в  одну  частину  рівняння  входив  тільки  х,  в  іншу тільки y, а потім проінтегрувати обидві частин.При цьому при розподілі можуть бути втрачені рішення.

Приклад 1.

y'-xy²=2xy

y'=xy(y+2)

Ділемо на y(y+2)

При діленні на y(y+2) було втрачене рішення у=0

 

 

 

 

Рівняння, не розв’язані відносно  похідної. F (x, y, y ') = 0. 

1.З рівняння F (x, y, y ') = 0 висловити y' через x і y. Отримаємо одне або декілька рівнянь виду y '= f (x, y), кожне з яких треба вирішити.

Приклад 2.

 у'2-y2 = 0

y '= y і y' =-y

dy / y = dx і dy / y =-dx

ln | y | = x + lnC і ln | y | =-xlnD

y = Cex і y = De-

2. Метод параметра (найпростіший варіант методу).

 Нехай рівняння F (x, y, y ') = 0 можна розв'язати відносно y. y = f (x, y ').

Введемо параметр p= y '= dy / dx,Тоді  y = f (x, p). Візьмемо повний 

диферентіал від обох частин, замінивши dy через pdx, одержимо:

pdx = fx'dx + fy'dy

Якщо рішення цього рівняння знайдено у вигляді x = φ (p), то отримаємо рішення вихідного рівняння в параметричній формі:

Приклад 3

y=ln(1+y'²)

p=y'=dy/dx, y=ln(1+p²)

При діленні на р було втрачене рішення  у=0

Приклад 4.

2y = 2x² + 4xy' + (y')².

 
Решение.

Нехай  y' = p, тому рівняння можна записати у вигляді:      

 

Знайдемо дифференціали обох частин рівняння, матимемо на увазі, что dy = pdx. В результаті отримаемо: