Квадратичные формы

1.7 Закон инерции  квадратичных форм

  Пусть в действительном пространстве дана квадратичная форма:

 где {x_i}— координаты вектора х в некотором базисе 

   Пусть — какой-нибудь  базис,   в  котором f(x) имеет нормальный вид: (1) Здесь {у₁} — координаты вектора х в базисе .

   Число положительных и число отрицательных членов в данной формуле называется  соответственно положительным и отрицательным индексом формы; разность между положительным и отрицательным индексом называется ее сигнатурой.

   Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный   индексы являются инвариантами квадратичной   формы, то  есть не  зависят от выбора базиса, в котором она имеет нормальный вид.

  Доказательство. Пусть   имеется   еще   один   базис котором форма   имеет нормальный вид:

         (2)

где {z_i} — координаты х в базисе . Нужно доказать, что k = m.

   Предположим, что  например k>m. Рассмотрим формулы преобразования координат                 

         (3)

   Заметим, что матрица Q коэффициентов невырождена.

   Подставим   выражения   (3)   в   формулу (2).   Мы должны  получить выражение (1); таким образом,  имеем тождество

         (4)

т. е. равенство, верное при любых у₁, ...,у_r, у_r+1…,y_n, считая, что z₁,..., z_n выражены через у₁, ..., у_п с помощью (3).

   Составим вспомогательную однородную  систему уравнений

         (5)

   В системе (5) число неизвестных больше числа уравнений вследствие предположения k>m. Поэтому система (5) имеет нетривиальное решение y₁,…,y_k. Подставим это решение в тождество (4), взяв дополнительно

         (6)

   В результате, учитывая (3), (5) и (6), получим

         (7)

Однако  это невозможно, так как левая  часть (7) строго положительна, тогда как правая либо отрицательна, либо равна нулю. Значит, k не может быть больше т. Теорема доказана. 

1.8 Положительно-определённая  квадратичная форма

   Определение 1. Форма f(x) называется положительно определенной, если f(x) > 0 для всех .

   Заметим, что  всегда. В самом деле, так как =0*z и f(x) = а (х, х), где z — произвольный вектор, а (х, у) — билинейная функция, то

   Квадратичная форма f(x) называется отрицательно определенной, если f(x)<0 для любого .

   Очевидно, что достаточно рассмотреть  положительно определенные формы, поскольку отрицательно определенные получаются из них сменой знака.

   Ограничиваясь квадратичными формами в конечномерных (n-мерных) пространствах, укажем прежде всего ряд простых необходимых признаков положительной определенности. Пусть в каком-нибудь базисе е₁ .,., е_п дана квадратичная форма

  Как  нам известно,

   1) Если f(x) является  положительно   определенной,   то при всех i=1,2, ..., п.

   2) Если форма f(x) положительно определена, то определитель ее матрицы положителен:

   Для доказательства приведем  f(x) к каноническому виду. Пусть — канонический базис, то есть базис, в котором f(x) имеет канонический вид:

   Согласно предыдущему признаку  все 

   Обозначим через  определитель матрицы формы f(x) в каноническом базисе.   Имеем

   С другой стороны

значит,

   Замечание. И это условие не является достаточным для положительной определенности квадратичной формы. Пример: форма

имеет однако

   3) В n-мерном пространстве каждая положительно определенная форма имеет ранг п. Доказательство вытекает из неравенства

    Теорема (критерий Сильвестра). Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны.

   Доказательство необходимости. Пусть форма f{x) положительно определена. Возьмем произвольный базис построим линейную оболочку Будем теперь рассматривать квадратичную форму f{x) не на вcём пространстве, а лишь  на подпространстве

   Если то и

   Все остальные члены, у коэффициентов  которых хотя бы один из  двух индексов больше k, исчезают за счет нулевых значений координат.

   Форма f(x) на подпространстве является положительно определенной, так как она положительно определена на всем пространстве. Поэтому определитель формы f(x), рассматриваемой на положителен:

   Но  — главный минор порядка k матрицы квадратичной формы f(x), индекс k может принимать значения 1, 2,..., п. Тем   самым необходимость признака доказана.

   Доказательство достаточности. Пусть  при k= 1,..., п.

Приведем  квадратичную форму к каноническому  виду методом Якоби. Получим

Бели  , то хотя бы одна из координат , и, следовательно, . Теорема доказана.

    Обратим внимание на двумерный случай. Пусть

где   на   этот   раз   числовые   аргументы   формы   обозначены через х, у.

Условие Сильвестра сводится к неравенствам

   Разумеется, в двумерном случае  теорему Сильвестра можно установить  без какой-либо специальной теории, поскольку для положительной определенности необходимо a > 0 и при а > 0

 

2.1. Приложение 1

Пример 1. Дана квадратичная форма . Привести её к каноническому виду.

   Решение. Составим характеристическое уравнение

или . Корни этого уравнения . Собственные векторы, определяющие главные направления квадратичной формы найдём из системы:

          (1)

   Подставляя сюда поочередно значения и беря каждый раз нормированное решение системы (1), получаем:

 

    

   Формулы преобразования координат при переходе к этому базису:

   В базисе квадратичная форма имеет канонический вид

Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму

   Решение. Составим уравнение

или . Отсюда . Канонический вид данной квадратичной формы

   Для того чтобы найти базис, в котором форма имеет вид, необходима найти собственные векторы симметрического линейного преобразования с матрицей

 

   Запишем систему уравнений, определяющую  искомые собственные векторы:

          (1)

   Подставляя сюда и беря каждый раз нормированное решение системы (1), найдем векторы, определяющие главные направления квадратичной формы:

 

   Они составляют нужный базис.

   При переходе к базису  координаты всех векторов преобразуются по формулам:

Пример 3. Найти для квадратичной формы

её матрицу.

   Решение. Для данной квадратичной формы запишем

 

   Следовательно её матрица равна

.

Пример 4. Подвергнем форму преобразованию

   Мы получили форму

   Подвергая её обратному преобразованию

 

 приходим  к исходной форме

Пример 5. С помощью линейных преобразований переменных преобразуем квадратичную форму в канонический вид.

   После преобразования

  Перейдёт  в форму с матрицей

т.е  в форму 

   Квадратная матрица вида 

у которой  все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной (канонической) матрицей.    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2. Приложение 2 
 
 
 

Список  используемой литературы 

1.  Александров  П. С.,  Лекции по аналитической геометрии,  пополненные необходимыми сведениями из  алгебры,  «Наука», 1968.

2.   Ефимов Н. В., Линейная алгебра и многомерная геометрия, «Мир», 1961

3.   Боревич З.И., Определители и матрицы, «Наука», 1986

4.   Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, «Дрофа», 2001

5.   Шилов   Г.   Е.,   Математический   анализ.   Конечномерные линейные пространства, «Наука», 1969