Квадратичные формы

  

                                            Содержание 

1. Теория

1.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

систем координат.

1.3 Определение  квадратичных форм. Общий вид, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

канонический  вид, нормальный вид.

1.4 Матрица квадратичнаых  форм. Теорема о ранге матрицы.. . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к . . . . . . . . . . . . . . . .8

каноническому виду и к нормальному виду

1.6 Формулы  преобразования и матрицы преобразования.. . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Закон  инерции квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Положительно-определённая  квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

2. Приложения

2.1 Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.1 Введение

   В данной работе мы рассмотрим квадратичные формы и основные операции над ними. А также в заключении моей работы решим пять задач по данной теме. 

   1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование систем координат.

     Из правил сложения векторов и умножения вектора на число вытекают важные свойства, которые легко доказываются:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) т×0 = 0; 8) если тa = 0, то или т = 0, или a = 0.

   Совокупность всех п-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется п-мерным векторным пространством.

   Геометрический смысл  сложения и умножения  на число двумерных  и трёхмерных векторов.

   Вектор b называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, ¼, a_п, если существуют такие числа т₁, т₂, ¼, т_п, что

      b = т₁a₁ + т₂a₂ ¼ + т _пa_п

   Линейной оболочкой  системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этой системы векторов.

   Система векторов a₁, a₂, ¼, a_п называется линейно зависимой, если найдутся такие числа т₁, т₂, ¼, т_п, хотя бы одно из которых не равно нулю, что имеет место равенство

      т₁a₁ + т₂a₂ ¼ + т _пa_п = 0.

   Линейно независимая система п-мерных векторов

      a₁, a₂,¼, a_п (1)

называется  максимальной линейно независимой системой, если добавление к ней любого п- мерного вектора b даёт линейно зависимую систему. Если (1) – максимальная линейно независимая система, то во всякой линейной комбинации векторов a₁,a₂,¼,a_п,b, равной нулю, коэффициент при векторе b должен отличаться от нуля(!), и вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов a₁, a₂,¼, a_п. Отсюда следует, что система п­мерных векторов тогда и только тогда будет максимальной линейно независимой системой, если её векторы линейно независимы, а любой п-мерный вектор является линейной комбинацией этих векторов.

   Теперь можно сделать заключение. В п-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.

   Всякая линейно независимая система  п-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе. Действительно, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно присоединить один вектор так, что полученная система останется линейно независимой. Если новая система не максимальна, то к ней можно добавить ещё один вектор. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока в системе не будет п векторов.

     Введём в геометрическом n-мерном пространстве произвольную систему и будем рассматривать переменные как координаты точки М в этой системе. Тогда есть значение квадратичной формы в точке М.

   Перейдём к новой системе координат  по формулам:

         (2)

   Здесь  - старые; - новые координаты одной и той же точки.

   Выясним, как изменится матрица  квадратичной формы при переходе  к новой системе координат.  Запишем преобразование координат  (2) в матричной форме

         (3)

Где X – матрица-столбец, составленная из старых координат; Y – матрица-столбец, составленная из новых координат; B – неособенная матрица с элементами. Подставив выражение (3) в равенство , получим

Но, по правилу транспонирования произведения, Следовательно,

         (4)

   Матрица  симметрична, так как а Y – матрица-столбец, составленный из переменных Поэтому выражение (4) является квадратичной формой от этих переменных. Её матрица равна .

   Таким образом, если в квадратичной форме с матрицей А перейти к новой системе координат, то в любых переменных квадратичная форма будет иметь матрицу где B – матрица перехода.    
 
 
 

 

   1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, канонический вид, нормальный вид.

   Числовая функция а(х, у) двух векторных аргументов х, у называется билинейной,   если   она   линейна по каждому аргументу, то есть

   Здесь x, у, х₁, х₂, у₁, у2—любые векторы пространства L, α — произвольное число.

   Пусть   L — линейное   n-мерное   пространство е₁, ..., е_п — базис в нем, и пусть аргументы билинейной функции разложены по этому базису:

,     .

   Тогда

                                                         (1)

   Введем  обозначения: 

        (2)

   Тогда  получим

          (3)

   Формула (3) выражает  функцию   а(х,у) в  координатах   по данному базису.

Многочлен в правой части формулы (3) называется билинейной формой. Вместе с ним билинейной формой называют и самую функцию а(х,у). Числа а_ik называются коэффициентами данной формы в базисе е₁, ..., е_п. В качестве аргументов х, у можно рассматривать векторы как действительного, так и комплексного линейного пространства. Соответственно говорят, что форма а(х,у) дана в действительном или в комплексном пространстве. В последнем случае в качестве значений формы а(х, у) допускают комплексные числа; коэффициенты а_ik этом случае также являются, вообще говоря, комплексными числами.

    Пусть билинейная форма а(х,у) является симметричной: а(у,х)=а(х,у). Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична ее матрица: А* = А. В самом деле,

  Отождествим  оба аргумента формы а(х,у). Тогда получим а(х,х) = а(х,у) при  у = х.

    Функция а(х, х) называется квадратичной формой, отвечающей данной симметричной билинейной форме а(х,у).

    Исходная (симметричная) билинейная форма а(х, у) называется полярной для квадратичной формы а(х, х).

   Докажем, что полярная   билинейная   форма однозначно определяется своей квадратичной  формой.

   Пусть дана числовая функция  f(x) векторного аргумента. Предположим, что f{x) есть некоторая квадратичная форма, т. е. f(x) = a(x,x), причем а{х,у) нам неизвестна. Чтобы найти ее, рассмотрим f(x+y), где х, у — произвольные векторы. Пользуясь свойствами билинейной формы и ее симметричностью, имеем

Отсюда  получаем искомое выражение

         (4)

   Формулу  (4)   можно   принять   за   определение квадратичной формы.   Именно можно сказать, что f(x) называется, квадратичной формой, если левая часть формулы (4) является билинейной функцией.

   Следует заметить, что определение  квадратичной формы не предусматривает наличия базиса; тем самым, оно применимо в бесконечномерных пространствах.