Квадратичні форми та їх зведення до канонічного вигляду

до канонічного  вигляду.

Нехай - згадане перетворення. Розглянемо наступне невироджене перетвоpeння координат

.

Звідси, використовуючи (10), одержуємо «результуюче» невироджене  лінійне перетворення координат

.

Ясно, що в базі квадратична форма має канонічний вигляд.

2. Нехай тепер  для всіх і, . Якщо для всіх , то доводити нічого. Тому нехай існують . З точністю до нумераціі координат (базових векторів) можна вважати, що . Тоді в q(х) входить доданок . Розглянемо наступне невироджене перетворення координат

або в матричній  формі

.

Визначник матриці  цього перетворення дорівнює . В  нових координатах у квадратичну  форму q(х) входять доданки , кожний з яких не може скоротитися з іншими доданками, що входять в q(х), бо в кожний інший доданок обов’язково входить , де . Отже, ми звели квадратичну форму q(х) до вигляду, розглянутого в першій частині доведення.

Тому існує  невироджене лінійне перетворення таке, що квадратична форма q(х) в базі

має канонічний вигляд. □

3.2. Нормальний вигляд квадратичної форми

В цьому пункті ми розглянемо квадратичні форми  лише над полями дійсних чисел  і комплексних чисел.

Нехай q(x)— квадратична форма рангу r, -її канонічний вигляд. Тоді серед коефіцієнтів знайдеться точно r відмінних від нуля, а всі решта рівні 0. Тому, перенумеровуючи (якщо треба) по новому вектори бази, можемо вважати, що

(10)

Означення 3.3 Квадратична форма q(x) має нормальний вигляд, якщо вона має канонічний вигляд (10) і .

Теорема 5.

1) Якщо квадратична  форма над полем має ранг  r, то її нормальним виглядом є сума r квадратів: .

2) Якщо квадратична форма над полем має ранг r, то існує натуральне число р, , таке, що нормальним виглядом є .

Доведення

1) Зведемо форму  до канонічного вигляду (10), і виконаємо наступне невироджене лінійне перетворення

,

де — одне з двох значень корення квадратного  з (в полі добування квадратного  корення завжди можливе). Після цього  квадратична форма набере вигляду

.

2) Нехай q(x)— квадратична форма над . Зведемо її до канонічного вигляду (10). Вважаємо (з точністю до нумераціі), що перші р коефіцієнтів в (10) додатні, а решта — від’ємні. Розглянемо невироджене лінійне перетворення

,

де або —  одне з двох можливих значень квадратного  кореня з додатнього дійсного числа. В координатах квадратична форма  має потрібний вигляд:

. □ 

3.3. Закон інерції

В цьому пункті ми розглянемо квадратичні форми  над полем дійсних чисел . Нехай  q(x) — квадратична форма. Зведемо її до нормального вигляду

. (11)

Означення 3.4 Якщо квадратична форма зведена до нормального вигляду (11), то число р називають додатним індексом інерції, r — р — від’ємним індексом інерції, їх різницю 2р — r — сигнатурою.

Теорема 6. Додатній та від’ємний індекси інерції і сигнатура не залежать від способу зведення квадратичної форми до нормального вигляду. 

Доведення

Доводимо від  супротивного. Нехай q(x) — квадратична форма в просторі V розмірності n. Припустимо, що в базі квадратична форма q(x) має нормальний вигляд (11), а в іншій базі вона має нормальний вигляд

, (12)

і нехай , наприклад, (тут r — ранг форми q(x), який не залежить від вибору бази за наслідком 1). Розглянемо підпростори та . Маємо , звідси . Тому існує . З рівності (12) маемо q(x) > 0, а з рівності (14) — q(x) < 0. Одержана суперечність показує, що . Аналогічно доводимо, що і , тому , отже, і . □ 

4. Додатньо визначені  квадратичні форми

4.1 Три еквівалентних  означення додатної  визначеності

Нехай q(x) — квадратична форма в n — вимірному лінійному просторі V над полем дійсних чисел , А(х,х) — відповідна їй білінійна форма.

Означення 4.1 Квадратичну форму q(x) називають додатно визначеною, якщо її нормальний вигляд є сумою n квадратів.

Інакше кажучи, q(x) додатно визначена, якщо її додатний індекс інерції дорівнює .

Теорема 7. Наступні властивості еквівалентні:

1) Форма q(x) додатно визначена.

2) для кожного  .

3) Відповідна  формі q(x) симетрична білінійна форма А(х,х) є скалярним добутком в просторі V . 

Доведення

1) 2) Якщо q(x) — додатно визначена, то існує база простору V, в якій . Звідси безпосередньо видно, що q(x) > 0 і q(x) = 0 тоді і тільки тоді, коли всі , тобто коли х = 0.

2) 3) Це випливає з означення скалярного добутку: скалярний добуток в евклідовому просторі V — це симетрична білінійна форма A(х, у), для якої

A(х, х) 0 і A(х, х) = 0 тоді і тільки тоді, коли х=0.

3) 1) Якщо A(х,у) — скалярний добуток в просторі V, то можна вибрати ортонормовану базу простору V. В цій базі матриця білінійної форми A(х,у) є одиничною, тому в ній

.

□

Зручно користуватися  критерієм додатної визначеності, який називається критерієм Сільвестра. 

4.2. Критерій Сільвестра

Означення 4.2 Якщо - квадратна матриця з елементами з поля Р, то мінори називають головними мінорами матриці А.

Нехай q(x) — квадратична форма в просторі V над полем , — база V, — матриця форми q(x) в базі а. 

Теорема 8. Квадратична форма q(x) додатно визначена тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори матриці А строго додатні.

Доведення

Якщо q(x) додатно визначена, то відповідна їй білінійна форма А(х,у) є скалярним добутком. За допомогою цього скалярного добутку ортогоналізуємо базу . Одержимо ортогональну базу . Нагадаємо, що для кожного , де . Звідси випливає, що для кожного ,

, (13)

де — матриця  з перших к рядків і стовпців матриці А, а — матриця переходу від бази до бази підпростору .

З (13) одержуємо

і всі , бо .

Нехай тепер  всі головні мінори матриці  А строго додатні. Міркуємо по індукції. Якщо n=1, то , отже, q(х) додатньо визначена. Припускаємо, що теорему доведено для всіх квадратичних форм в просторах розмірності меншої, ніж n. Нехай . Розглянемо квадратичну форму . За припущенням індукції, нормальний вигляд форми r(х) є сумою n—1 квадрата, бо головні мінори її матриці є головними мінорами матриці А. Тому існує база, в якій . Приймемо додатково . Маємо,

, де і . Покажемо, що . Зрозуміло, що

з невиродженою матрицею Q. Звідси випливає, що

.

Отже, нормальним виглядом форми q(х) є і — додатно визначена. 

4.3. Зведення до канонічного  вигляду пари форм

В деяких задачах  виникає проблема звести дві квадратичні  форми q(х) і r(х) до канонічного вигляду одним і тим же невиродженим лінійним перетворенням. Інакше кажучи, ця проблема полягає в знаходженні бази, в якій обидві форми q(х) і r(х) мають канонічний вигляд. Ця проблема має особливо простий розв’язок для пар форм над полем дійсних чисел, одна з яких додатно визначена.

Теорема 9. Нехай q(x) і r(х) — пара квадратичних форм в просторі V над полем , і форма r(х) — додатньо визначена. Тоді існує база e простору V, в якій

(14)

де — власні значення матриці форми q(x), і

(15)

Доведення

Нехай В(х,у) — відповідна формі r(х) симетрична білінійна форма. За теоремою 2.4 В(х,у) — скалярний добуток простору V. Далі, існує (відносно цього скалярного добутку) ортонормована база е, в якій форма q(x) зводиться до головних осей. У цій базі q(x) має вигляд (14), а r(х) — вигляд (15), бо скалярний квадрат вектора в ортонормованій базі дорівнює сумі квадратів його координат. □

4.4. Застосування до  екстремумів функцій  багатьох змінних

Нехай окіл точки  a

( — довжина  вектора х — а в евклідовому просторі ), — дійсна функція від n змінних, визначена в U.

Якщо функція  f диференційована в точці а, то її диференціал є лінійною формою простору ; якщо f — два рази диференційована в точці а, то другий диференціал є квадратичною формою в просторі . 

В курсі математичного  аналізу доводять такі теореми:

1) Якщо функція  має локальний екстремум в  точці а і диференційована в цій точці, то (необхідна умова екстремуму).

2) Нехай — двічі диференційована функція в точці . Якщо , а квадратична форма додатно визначена, то f має в точці а (строгий) локальний мінімум. Якщо квадратична форма — додатно визначена, то f має в а (строгий) локальний максимум. 
 
 
 
 
 
 

Розділ  III. Білінійні і квадратичні форми у задачах

Приклад 1. Записати матрицю білінійної форми

. 

Приклад 2. На просторі задана білінійна форма в деякому базисі. Знайти матрицю білінійної форми в іншому базисі .

,

,

,

Отже, матриця  білінійної форми матиме вигляд

. 
 

Приклад 3. Звести квадратичну форму

до канонічного  вигляду.

Матриця цієї квадратичної форми має вигляд

Відокремимо в  цій формі квадрат лінійного  виразу, який містить усі члени  зі змінною .

.

Позначимо . Тоді

,

,

.

Матриця цього  перетворення

.

Квадратична форма  у нових змінних матиме вигляд:

.

Виділимо квадрат  лінійного виразу, що містить усі  члени зі змінною :

.

Знову-таки введемо  нові змінні

.

Матриця цього  перетворення

.

У нових змінних  квадратична форма матиме канонічний вигляд

.

Матриця перетворення, що подає через дорівнює

.

Після очевидних  обчислень

.

Це і є матриця  канонічної форми f. 

Приклад 4. З'ясувати, за яких значень параметра форма додатно визначена.

Матриця форми

.

Головні мінори

,

.

Для додатної визначеності повинні мати місце нерівності

.

З першої нерівності знаходимо, що , а з другої - . З'ясуємо, чи перетинаються інтервали і . Для  цього порівняємо числа і . Маємо 

. Але . Тому . Інтервали не перетинаються. Отже, не існує таких значень , для  яких форма f додатно визначена.