Квадратичні форми та їх зведення до канонічного вигляду

Зміст

Вступ...........................................................................................................................

Розділ  I. Білінійні форми..........................................................................................

1. Означення і приклади білінійних форм....................................
2. Матриця білінійної форми.........................................................
3. Симетричні білінійні форми......................................................

1.4. Зв'язок матриць  білінійної форми в різних  базах....................

Розділ  II. Квадратичні форми..................................................................................

2.1. Означення  квадратичної форми..................................................

2.2. Матриця та  ранг квадратичної форми........................................

2.3. Симетричні  квадратичні форми..................................................

2.4. Метод Лагранжа  — метод зведення квадратичної  форми до канонічного вигляду..............................................................................

2.5. Метод Якобі  зведення квадратичної форми  до канонічного вигляду....................................................................................................

2.6. Зведення  квадратичної форми до канонічного  вигляду за допомогою ортогонального  перетворення .........................................

2.7. Одночасне  зведення двох квадратичних форм  до канонічного вигляду....................................................................................................

Розділ  III. Порівняльна характеристика білінійних і квадратичних форм..........

Розділ  IV. Білінійні і квадратичні форми в задачах...............................................

Висновок.....................................................................................................................

Список використаних джерел................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 

Розділ  I. Білінійні форми

1.1. Означення і приклади  білінійних форм

Нехай V — лінійний простір над полем Р.

Означення 1.1 Білінійною формою в просторі V називають відображення , що має такі властивості:

1. ,
2. ,

де .

Приклади

1) Скалярний  добуток в евклідовому просторі  є, очевидно, білінійною формою. Тому  білінійні форми є узагальненнями  скалярного добутку в евклідовому  просторі. Зауважимо, що скалярний  добуток в унітарному просторі  не є білінійною формою, бо  не виконується умова 2 з означення  1.1 .

2) Нехай - база простору V, . Тоді відображення , для якого , де , є білінійною формою. 

1.2. Матриця білінійної форми

Нехай — білінійна  форма в просторі — база V.

Означення 1.2. Матрицю називають матрицею білінійної форми А в базі (матрицею Грама форми А в базі е).

Нехай . Позначимо і — стовпчик координат  векторів х і у. Тоді .

0тже у введених  вище позначеннях, білінійну форму  А(х,у) можна записати у вигляді:

(1)

де А — матриця білінійної форми А в базі е, а X, У — стовпчики координат векторів x і у в цій же базі, а значок Т означає транспонування. 

1.3. Симетричні білінійні  форми

Означення 1.3 Білінійну форму А(х, у) називають симетричною, якщо А(х, у) = =А(у, х) для всіх .

Теорема 2. Матриця симетричної білінійної форми в будь-якій базі є симетричною матрицею. Навпаки, якщо матриця білінійної форми хоч в одній базі — симетрична, то форма — симетрична.

Доведення. Якщо — матриця білінійної форми і — база простору V, то . Отже, А — симетрична матриця.

Навпаки, нехай  А — симетрична матриця, що є матрицею білінійної форми А(х,у) відносно деякої бази е. Нехай X та У — стовпчики координат векторів х та у в базі е. Тоді . є матрицею 1-го порядку, тому . Враховуючи це, маємо

.

□ 

1.4. Зв’язок матриць білінійної форми в різних базах

Нехай і —  дві бази лінійного простору V,

— білінійна форма в просторі V, А і В — матриці білінійної форми в базах е та е'. Поряд з рівністю (1) запишемо рівність

(2)

де і —  стовпчики координат векторів x і у в базі . Порівнюючи (1) і (2), одержуємо

(3)

Нехай Q — матриця переходу від бази е до бази . Тоді

(4)

Підставимо (4) в (3). Одержимо, враховуючи, що матриця, транспонована  до добутку, дорівнює добутку транспонованих в оберненому порядку,

. (5)

Рівність (5) справедлива  для всіх можливих стовпчиків і . Підставимо в (5) замість X та У одиничні вектор-стовпчики з 1 на i-му місці в X і з 1 на j-му місці в У. Одержимо, що елемент i-го рядка та j-го стовпчика матриці дорівнює відповідному елементу матриці В. Тому справедлива матрична рівність .

Підсумовуючи  наведені обчислення, бачимо, що ми довели таку теорему: 

Теорема 1. Нехай А — білінійна форма в скінченновимірному лінійному просторі V, А і В — матриці форми А в базах е і — матриця переходу від бази e до бази е'. Тоді

(6) 
 
 
 
 
 
 

Розділ  II. Квадратичні форми

2. Квадратичні форми

2.1. Означення квадратичних  форм

Нехай L є векторний простір над полем K і - базис в L . 
Функція Q: називається квадратичною формою, якщо її можна представити у вигляді 
, 
де а - деякі елементи поля К. 

2.2. Матриця та ранг квадратичної форми

Означення 2.1 Матрицею квадратичної форми в базі е називають матрицю в базі е відповідної їй симетричної білінійної форми А(х,у).

Матриця квадратичної форми є симетричною. Це випливає з теореми 1.2.

Для того, щоб  дати означення рангу квадратичної форми нам потрібний

такий результат.

Твердження 1. Ранг матриці А не змінюється при до множенні матриці А зліва або справа на невироджену матрицю.

Доведення. Доведемо спочатку, що ранг добутку матриць не перевищує рангу кожного із співмножників: і . Якщо ,, то . З формули множення матриць бачимо, що i-ий рядок матриці АВ є лінійною комбінацією рядків матриці В з коефіцієнтами , a j-ий стовпчик матриці АВ є лінійною комбінацією стовпчиків матриці А з коефіцієнтами . Оскільки ранг матриці збігається з розмірністю лінійної оболонки її рядків (стовпчиків), то маємо і .

Тепер припустимо, що одна з матриць А або В невироджена. Якщо , то і (обидві нерівності справедливі за доведеним). Тому . Так само доводимо, що , якщо . □

Наслідок  1. Ранг матриці квадратичної форми не залежить від вибору бази.

Доведення. Якщо А і В — матриці квадратичної форми в базах е і , то А і В зв’язані формулою (6) , де Q матриця переходу від бази е до бази . Матриця Q і — невироджені, тому rgA = rgB згідно попереднього твердження. □

Враховуючи доведений  наслідок, можна дати наступне

Означення 2.2 Рангом квадратичної форми називають ранг її матриці відносно будь-якої бази. 

2.3. Симетричні квадратичні  форми

Означення 2.3 Нехай А(х, у) — білінійна форма в просторі V. Розглянемо обмеження відображення на діагональ декартового добутку . Одержимо відображення , де

для . Відображення q називають квадратичною формою, відповідною білінійній формі А.

За означенням квадратичні форми одержують  з білінійних. Можна вважати, що маємо  відображення множини білінійних форм в просторі V на множину квадратичних форм. Взагалі це відображення не ін’єктивне: різним білінійним формам може відповідати одна і та ж сама квадратична форма.

При певних обмеженнях існує взаємно-однозначна відповідність  між квадратичними формами і  симетричними білінійними формами.

Теорема 3. Нехай V — лінійний простір над полем. Існує взаємно-однозначна відповідність між симетричними білінійними та квадратичними формами в просторі V.

Доведення. Довільна квадратична форма за означенням одержується з білінійної форми А(х,у) за правилом . Форма А(х,у) не зобов’язана бути симетричною, але існує симетрична білінійна форма , з якої теж одержується та ж квадратична форма Тому ми маємо відображення F множини В симетричних білінійних форм на множину К — квадратичних форм. Щоб довести теорему, розглянемо відображення , яке переводить квадратичну форму (A(x,y)— симетрична білінійна форма) у форму

.

Бачимо, що . □ 

3. Канонічний вигляд

Кожна квадратична форма над полем дійсних чисел може бути записана у вигляді:

(7)

 
Означення 3.1 Кажуть, що квадратична форма над полем має в деякій базі канонічний вигляд, якщо в цій базі її матриця є діагональною.

Інакше кажучи, квадратична форма має канонічний вигляд в базі е, якщо в цій базі вона записується у вигляді (9), де — координати вектора х.

В принципі, ми можемо звести будь-яку квадратичну форму  над до канонічного вигляду, звівши її до головних осей. Але доводиться розглядати і квадратичні форми  над полями, відмінними від (наприклад, над або або скінченним полем). У цих випадках потрібно мати інші методи зведення до канонічного вигляду.

3.1. Метод Лагранжа

Розглянемо метод  Лагранжа зведення квадратичних форм до канонічного вигляду. Цей метод є одним з найпростіших методів, що може бути легко застосований до будь-якої квадратичної форми над довільним полем . Він не вимагає обчислення власних значень, яке може на практиці виявитися дуже складною (а то і нерозв’язною) задачею.

Теорема 4. Для кожної квадратичної форми в просторі V над полем існує база простору V, в якій A(x,x) має канонічний вигляд.

Доведення. Виберемо і зафіксуємо будь-яку базу е простору V. Нехай А — матриця квадратичної форми q(x) в цій базі,, де X — стовпчик координат вектора х в базі е. Якщо ми доведемо існування невиродженої матриці Q, для якої матриця — діагональна, то теорему буде доведено, тому що — матриця квадратичної форми q(x) в базі . Міркуємо індукцією за .

Якщо , то будь-якій базі і доводити нічого.

Нехай . Припустимо, що теорему доведено для всіх квадратичних форм, у яких кількість координат  строго менша, ніж n, і

.

Розглянемо два  випадки.

1. Існує і, , для якого . У цьому випадку (нумеруючи, якщо потрібно, по новому координати, тобто, переставляючи вектори бази) можна вважати, що . Розглянемо матрицю

,

, і невироджене  лінійне перетворення координат

. (8)

Нехай . Тоді

(9) 

є квадратичною формою, що не містить . Використовуючи (8), виразимо

у нових координатах  рівність (9) має вигляд

; у нових координатах  рівність (9) має вигляд

.

Форма r(х) не залежить від (бо, згідно (9) вона не залежить від , тому за припущенням iндукції існує невироджене лінійне перетворення координат яке зводить форму r(х)