Контрпримеры в анализе

Точка наибольшего или наименьшего  значения может быть экстремумом  функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции  следует искать среди экстремумов  этой функции и ее значений на концах отрезка.

Рис. 3

 

Рис. 4

Рис. 5

Если существует число C такое, что  для любого выполняется неравенство f ( x ) ≤ C , то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что  для любого выполняется неравенство f ( x ) ≥ c , то функция f называется ограниченной снизу на множестве D .

Функция, ограниченная и сверху, и  снизу, называется ограниченной на множестве D . Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f ( x ), лежит в полосе c ≤ y ≤ C .

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она  не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу  на всей числовой оси, является функция y = x ². Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/ x . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x .[13]

2.1. Условия монотонности функции

Теорема 1. Предположим, что для  функции существует производная функция не меняющая знака на (a,b). Тогда функция f монотонна (в широком смысле) на (a, b).

Более того, справедливы следующие  утверждения¹:

Зададим произвольно точки Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существует точка такая, что

    (1)

Так как , то разность либо равна нулю, либо имеет тот же знак, что и Значит,

т. е. в этом случае функция f не убывает. Аналогично

т. е. в этом случае функция f не возрастает.

Далее, если , то из (1) видно, что т. е. функция f — постоянная. С другой стороны, из определения производной следует, что производная постоянной функции равна нулю тождественно.

И наконец, из (1) очевидно, что если строго положительна (строго отрицательна), то f строго возрастает (строго убывает).

Примеры. 1) Найти число вещественных корней уравнения

Функция дифференцируема на Так как для всех то данная функция строго возрастает на Поэтому уравнение может иметь не более одного корня. Поскольку

то в силу теоремы Больцано —  Коши Таким образом, данное уравнение имеет единственный вещественный корень.

2) Найти интервалы монотонности  функции

Имеем: при при Применяя теорему 1, заключаем, что данная функция возрастает на и на и убывает на [9, С. 261-262]

2.3. Необходимое условие локального экстремума

Теорема Ферма дает необходимое условие того, что внутренняя точка в которой существует производная является точкой локального экстремума функции f . Для приложений полезно сформулировать необходимое условие в предположениях, несколько отличных от предположений теоремы Ферма.

Рис. 6. График функции, имеющей локальные экстремумы

Теорема 2. (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой локального экстремума функции то производная либо не существует, либо либо

Доказательство этой теоремы простое, и мы его опускаем. На рис. 6 показаны возможные особенности графика функции в окрестности точек, где она имеет локальные экстремумы.

Критическими точками функции f будем называть все те точки, в которых эта функция, возможно, имеет локальные экстремумы. Кроме точек, о которых сказано в теореме 2, к критическим точкам функции f следует отнести все граничные точки ee области определения. Стационарными точками функции f будем называть все те ее критические точки, которые лежат внутри ее области определения, и в которых производная равна нулю.

Если ставится задача исследовать  данную функцию на экстремум, то сначала  следует найти ее критические  точки. Затем, обращаясь к определению 133, следует проверить, является ли та или иная критическая точка точкой экстремума, и если да, то какой именно. В следующем пункте будут установлены теоремы, содержащие достаточные условия наличия или отсутствия локальных экстремумов данной функции в ее стационарных точках.[9, С. 263.]

2.4. Достаточные условия локального экстремума

Теорема 3. (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f дифференцируема на некотором интервале, содержащем стационарную точку x₀ , и пусть существует такое что ее производная функция имеет постоянный знак на каждом из интервалов Если знаки производной на этих интервалах противоположные, то функция f имеет в точке x₀ строгий локальный экстремум, если же эти знаки одинаковые, то функция f не имеет экстремума в точке x₀ .

В силу теоремы 1 функция f строго монотонна на каждом из интервалов Если знаки ее производной на этих интервалах одинаковые, то функция f строго монотонна на интервале и потому в точке x₀ экстремума иметь не может. Если при возрастании переменной x знак производной меняется c плюса на минус, то слева от x₀ функция f возрастает, а справа — убывает. Значит, в точке x₀ она имеет строгий локальный максимум. Если же знак производной меняется с минуса на плюс, то слева от x₀ функция f убывает, а справа — возрастает. Значит, в точке x₀ она имеет строгий локальный минимум.

Теорема 4. (второе достаточное условие экстремума). Если то функция f имеет в стационарной точке x₀ строгий локальный экстремум (максимум при минимум при

Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x₀:

Так как то имеем

  (2)

Так как

Таким образом, при знак приращения совпадает со знаком числа Значит, при 0 будет: т. e. x₀ является точкой максимума. Если же то будет: т. e. x₀ является точкой минимума.

Теорема 5. (третье достаточное условие экстремума). Пусть

 (3)

Если число k — нечетное, то в точке x₀ функция f не имеет экстремума. Если же число k — четное, то функция f имеет в точке x₀ строгий локальный экстремум. Именно максимум при и минимум при

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4. Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x₀:

Согласно (3), имеем следующее тождество, аналогичное (2):

   (4)

Так как при

Таким образом, при знак приращения f(x) − f(x₀) совпадает со знаком первого слагаемого правой части (4). Если в (4) число k — нечетное, то при переходе через точку x₀ функция меняет знак, значит, и приращение меняет знак. Поэтому при нечетном k в точке x₀ экстремума нет. Если же число k — четное, то функция положительна при и потому приращение сохраняет знак при

Это означает, что в точке x0 функция f имеет строгий локальный экстремум, максимум при  и минимум при

Примеры. 1) Исследовать на экстремум  функцию

Сначала вычисляем производную  данной функции:

Приравнивая ее к нулю находим корни (т. е. стационарные точки) Для дальнейшего исследования вычислим производную второго порядка: Далее, при x = 1 имеем — максимум, при имеем минимум,

2) В равнобедренный прямоугольный  треугольник с гипотенузой, равной 2R единиц, вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Подобрать размеры прямоугольника так, чтобы его площадь стала максимальной.

Пусть 2x — длина основания прямоугольника, а y — его высота.

Тогда площадь S этого прямоугольника равна S = 2xy. Легко показать, что y = R − x. Таким образом, площадь прямоугольника вычисляется по формуле: Исследуем эту функцию на экстремум:

И наконец, значит, в точке функция S имеет максимум, равный

3) Исследовать на экстремум функцию

Так как данная функция — периодическая, с основным периодом то достаточно найти ее экстремумы на любом промежутке длины Будем искать их на полуинтервале

Приравнивая к нулю производную  данной функции

находим стационарные точки, лежащие  на промежутке

Итак, стационарные точки следующие:

Исследуем эти точки на экстремум, следя за изменением знака первой производной при возрастании  переменного x.

При переходе через точку x = 0 производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

При переходе через точку  производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

При переходе через точку производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

Рис. 7. График функции

При переходе через точку производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

При переходе через точку  производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

При переходе через точку  производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

График функции  показан на рис. 7. [9, С. 264-267]

 

Заключение

Итак, в соответствии с задачами, поставленными во введении, мы рассмотрели  понятие контрпримера, его использовании  в дифференцировании и понятие монотонной функции.

Особенностью многих примеров и контрпримеров в математике является их эффективность: простой пример может привести к пониманию сложной истины, простой контрпример способен перечеркнуть нетривиальные рассуждения, гипотезы и заблуждения. Казалось бы, примеры и контрпримеры должны стать эффективным инструментом в руках (точнее в умах) преподавателей и студентов, усилить учебный процесс. Однако перегруженность учебных программ, ограниченность лекционного и семинарского времени привели не к лучшей традиции: излагать материал в сжатой и канонизированной форме. Сделать, используя примеры и контрпримеры , «шаг влево – шаг вправо», ответить на возникающие при обучении качественные вопросы, дотошно выяснить границы применимости понятий, теорем, правил и методов уже не хватает времени.

 

 

Список источников и  литературы

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит., 1963. 443 с.
2. Боас П. П. Примеры вещественных функций. Нью-Йорк, 1960.
3. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа / Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1971. Ч.1. 350с.
4. Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу/ И.А. Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Под общ.ред. В.А.Садовничего. М.:Изд-во Моск.ун-та, 1988. 416с.
5. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
6. Гобсон Е. В. Теория функций. Вашингтон, 1950.
7. Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии. М.: Сентябрь, 1996. 112с.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 624с.
9. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ: Учебное пособие в шести частях: Часть 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление.— Электрон. текст. дан. (2320 кб). — 2-е издание. — Мн.: “Электронная книга БГУ”, 2004.
10. Иванов А.П., Фоминых Ю.Ф. Использование тестов для повышения системности знаний учащихся по математике // Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты. Тезисы докладов XVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и пед.вузов. Брянск, октябрь 1999 г. Брянск: Изд-во Брянского гос.пед.ун-та, 1999. 184с.
11. Лакатос И. Доказательства и опровержения: как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967.
12. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975.
13. Монотонность функций – http://e-science.ru/math/theory/?t=133
14. Олмстед Дж, Продвинутые вычисления. Нью-Йорк, 1961.
15. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240с.
16. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1980.
17. Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1998. 313с.
18. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999.
19. Титчмарш Е. Теория функций, М.: Гостехиздат, 1951.
20. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: 1960.
21. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск: Изд-во Том.ун-та. Москва: Изд-во "Барс", 1997. 392с.
22. Шибинский В.М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа: Учебное пособие. М.: 2007.
23. Щетников А. И., Щетникова А. В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа. Новосибирск: АНТ, 1999.
24. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255с.
25. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс- параллели и взаимосвязи. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1997. 137с.
26. http://ru.wikipedia.org/wiki/Контрпример

¹ Неравенства типа понимаются в следующем смысле: для всех