Контрпримеры в анализе

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

Введение

„Истинно ли утверждение S?"—это, пожалуй, наиболее типичный для математики вопрос, когда утверждение имеет вид: „Каждый элемент класса А принадлежит также классу В: А В". Доказать, что подобное утверждение истинно, — значит доказать включение А В. Доказать, что оно ложно,— значит найти элемент класса А, не принадлежащий классу В, иными словами, привести контрпример. Например, если утверждение S таково: „Каждая непрерывная функция дифференцируема в некоторой точке", то множества А и В состоят соответственно из всех непрерывных функций и всех функций, дифференцируемых в некоторых точках. Известный же пример Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции f является контрпримером для включения А В, поскольку f является элементом А, не принадлежащим В. Рискуя впасть в чрезмерное упрощение, можно сказать, что математика (за исключением определений, утверждений и выкладок) состоит из двух частей — доказательств и контрпримеров, а математические открытия состоят в нахождении доказательств и построении контрпримеров.

Этим обуславливается актуальность контрпримеров во времена становления  и развития математики.

Большая часть математических книг посвящена доказательству верных утверждений.

Вообще говоря, примеры  в математике бывают двух типов — иллюстративные примеры и контрпримеры. Первые показывают, почему то или иное утверждение имеет смысл, а вторые — почему то или иное утверждение лишено смысла. Можно утверждать, что любой пример является в то же время контрпримером для некоторого утверждения, а именно для утверждения, что такой пример невозможен. Мы не желаем придавать термину контрпример столь универсальный смысл, но допускаем, что его значение достаточно широко, чтобы включить в себя все примеры, роль которых не ограничивается иллюстрацией верных теорем. Так, например, полином как пример непрерывной функции не есть контрпример, но полином как пример неограниченной или непериодической функции является контрпримером. Подобным же образом класс всех монотонных функций на ограниченном замкнутом интервале как класс интегрируемых функций не есть контрпример, однако этот же самый класс как пример функционального, но не векторного пространства является контрпримером.

Цель данной работы – рассмотреть  контрпримеры и условия монотонности функции в анализе.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть контрпримеры в анализе

2. Определить понятие контрпримера

3. Рассмотреть использование контрпримеров в дифференцировании

4. Определить понятие монотонности функций

5. Охарактеризовать условия монотонности функции 

6. Рассмотреть необходимое условие локального экстремума

7. Рассмотреть достаточные условия локального экстремума

 

 

1. Контрпримеры в анализе

1.1. Понятие контрпримера

Крылатые выражения: «учиться на примерах», «сила примера» имеют не только житейский  смысл. Слово «пример» является однокоренным со словами «мера», «мерить», «измерить», но не только поэтому присутствует в математике с самих ее начал. Пример иллюстрирует понятие, помогает уяснить его смысл, подтверждает истинность утверждения в его частном проявлении; контрпример , опровергая ложное утверждение, имеет доказательную силу.[22, C.7]

Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Построение контрпримера — обычный  способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет любой объект X₀ из множества M, для которого свойство A не выполняется.

Классический контрпример в  истории математического анализа  представляет собой построенная  Бернардом Больцано функция, непрерывная на всей вещественной оси и не дифференцируемая ни в одной точке. Эта функция послужила контрпримером к гипотезе о том, что дифференцируемость функции является естественным следствием её непрерывности.[26]

2.2. Использование контрпримеров в дифференцировании

Данный раздел был выбран в силу того, что дифференцирование является базовым элементом математического анализа.

В некоторых примерах этой главы термин производная будет применяться и к бесконечным пределам.

Однако термин дифференцируемая функция используется лишь в том случае, если функция имеет конечную производную в каждой точке своей области определения. Функция называется бесконечно дифференцируемой, если она имеет (конечную) производную любого порядка в каждой точке области определения.

Показательная функция с основанием е будет обозначаться символом е^х или ехр(x).

Предполагается, что все множества, включая области определения и множества значений функций, являются подмножествами R. В противном случае будет сделано соответствующее уточнение.

1. Функция, не являющаяся производной

Функция sgnA: и вообще всякая функция с разрывом в виде скачка не имеет примитивной, т. е. не является производной никакой функции, поскольку она не обладает свойством Коши принимать все промежуточные значения, а это свойство присуще не только непрерывным функциям, но и производным (см. [14], стр. 84, упр. 40, а также [20], т. I, стр. 224). Ниже приводится пример разрывной производной.

2. Дифференцируемая функция  с разрывной производной

Рассмотрим функцию

Ее производная

разрывна в точке х = 0.

3. Разрывная функция, всюду имеющая производную (не обязательно конечную)

Для того чтобы такой  пример стал возможен, надо расширить определение производной так, чтобы оно включало значения ± . Тогда разрывная функция sgn x (пример 1) имеет производную

4. Дифференцируемая  функция, производная которой не сохраняет знака ни в какой односторонней окрестности экстремальной точки

Функция

имеет абсолютный минимум  в точке х = 0. А ее производная

в любой односторонней  окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения. Функция f не является монотонной ни в какой односторонней окрестности точки х = 0.

5. Дифференцируемая функция,  производная которой положительна в некоторой точке, но сама функция не монотонна ни в какой окрестности этой точки

Функция

имеет производную, равную

В любой окрестности нуля производная f ^/ (х) имеет как положительные, так и отрицательные значения.

6. Функция, производная которой конечна, но не ограничена на замкнутом интервале

Рассмотрим  функцию

Ее производная

не ограничена на [—1, 1].

7. Функция, производная которой  существует и ограничена, но не имеет (абсолютного) экстремума на замкнутом интервале

Функция

имеет производную

В любой окрестности  нуля эта производная имеет значения, как угодно близкие к 24 и —24. С другой стороны, для 0<h (см. [14], стр. 83, упр. 29) имеем

и

Поэтому из неравенства 0 < h 1 следует, что

8. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Функция | х | всюду непрерывна, но не дифференцируема в точке х — 0. С помощью сдвига этой функции можно определить всюду непрерывную функцию, которая не дифференцируема в каждой точке произвольно заданного конечного множества. В этом пункте мы приведем пример, использующий бесконечное множество сдвигов функции | х |.

Покажем, что функция 

нигде не дифференцируема. Пусть а — произвольное действительное число, и пусть для всякого натурального n число h_n, равное 4^-n или –4^-n, выбрано так, что Тогда величина имеет одинаковое значение | h_n | для всех m n и равна нюлю для m > n. Тогда разностное отношение является целым числом, которое чётно при чётном n и нечётно при нечётном n.

Отсюда следует, что  предел

не существует, а поэтому не существует и

Приведенный пример является модификацией примера, построенного Б. Л. Ван дер Варденом в 1930 г. (см. [19], стр. 394). Первый же пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции был построен К. В. Т. Вейерштрас-сом (немецкий математик, 1815—1897 г.):

где а — целое нечетное число, а число b таково, что

В настоящее время известны примеры непрерывных функций, которые ни в одной точке не имеют даже односторонней конечной или бесконечной производной. Эти примеры и дальнейшие ссылки можно найти в [19] (стр. 392—394), [2] (стр. 61 — 62, 115, 126), а также в [6] (т. II, стр. 401—412).

Функция настоящего примера не является монотонной ни на каком интервале. Более того, существует пример функции всюду дифференцируемой и нигде не монотонной (см. [6], т. II, стр. 412—421). Конструкция этого примера очень сложна и приводит к функции, которая всюду дифференцируема и имеет плотное множество относительных максимумов и плотное множество относительных минимумов.

9. Дифференцируемая функция, для которой теорема о среднем не имеет места

В этом примере мы снова вынуждены  обратиться к комплекснозначной функции. Функция

действительного переменного х всюду непрерывна и дифференцируема (см. [14], стр. 509—513). Однако не существует такого интервала для которого при некотором справедливо равенство

Если предположить, что  это равенство возможно, то, приравнивая квадраты модулей (абсолютных значений) обеих его частей, мы получим равенство

которое после элементарных преобразований примет вид

Но так как не существует положительного числа h, такого, что sin h = h (см. [14], стр. 78), то мы получили противоречие.

13. Бесконечно дифференцируемая  монотонная функция f, такая, что

Если не требовать монотонности, то тривиальным примером такой функции будет, например, (sinx²)/x. Построим пример монотонной функции, обладающей указанным свойством. Положим f(х) равной 1 для и равной на замкнутых интервалах для

На оставшихся промежуточных интервалах вида определим f(х) с помощью функции

,

применяя горизонтальные и вертикальные сдвиги и умножение на соответствующие отрицательные множители.

 

2. Монотонные функции

2.1. Монотонность функций

Функция f ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x ₁ и x ₂ из промежутка D таких, что x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f ( x ₁ ) < f ( x ₂ ).

Функция f ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x ₁ и x ₂ из промежутка D таких, что x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f ( x ₁ ) > f ( x ₂ ).

Рисунок 1.

На показанном на рисунке графике  функция y = f ( x ), возрастает на каждом из промежутков [ a ; x ₁ ) и ( x ₂ ; b ] и убывает на промежутке ( x ₁ ; x ₂ ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a ; x ₁ ) и ( x ₂ ; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или  убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D ( f ( x )), то уравнение f ( x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x ₁ < x ₂ – корни этого уравнения на промежутке D ( f ( x )), то f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим  свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
• Если функция f возрастает, то функции cf ( c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf ( c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
• Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает.
• Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.
• Композиция g ( f ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно  сформулировать и для убывающей  функции.

Рис. 2. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума  функции f , если существует такая ε-окрестность  точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f ( a ) ≥ f ( x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f ( a ) ≤ f ( x ).

Точки, в которых достигается  максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке  экстремума происходит смена характера  монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может  возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  ( x ≠ a ) выполняется неравенство f ( x ) ≤ f ( a ) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :  

Если для любого  ( x ≠ b ) выполняется неравенство f ( x ) > f ( b ) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .