Контрольная работа по «Прикладной математике»

Министерство  экономического развития Российской Федерации

Московский  Государственный  университет коммерции

Ростовский  институт (филиал) 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

по  дисциплине «Прикладная математика» 
 
 
 
 
 

                                                 Выполнила: Бражкина Вера А.

                                                                      Группа КФ-1 З/О

                                          Проверил:   Дерезина Н.П.  
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону

2011г. 

 

Задачa № 2.

Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и найти максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области:

Решение

     Построим на плоскости Х₁OХ₂  многоугольник решений рис 1. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств:

     Построив  полученные прямые, найдем соответствующие  полуплоскости и их пересечение:

      Рис 1. 

     Многоугольником решений задачи является пятиугольник АВСDЕ, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности и неравенствам системы ограничений задачи.

Для нахождения точек экстремума построим начальную  прямую F(X)=0=14x₁+6x₂ и вектор N (14,6) Передвигая прямую F(X)-0 параллельно самой себе в направлении вектора N, найдем точку D,в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой. Следовательно, в точке D целевая функция принимает максимальное значение, так как точка D получена в результате пересечения прямых 1 и 5 , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 

 

Решив систему уравнений, получим: x₁=0; x₂=7, а F(X)=14*0+6*7=42.

Для нахождения минимального значения целевой функции  задачи перемещаем начальную прямую в направлении, противоположном вектору N. Начальная прямая займет положение опорной прямой в вершине A. Целевая функция принимает минимальное значение в угловой точке A: 

 

где x₁=5/6=0,833, x₂=0,833,  а F(X)=14*0,833+6*0,833=16,66.

  Найдем координаты угловых точек:  В, С и Е. Для этого решим следующие системы уравнений: 

            

В результате получим координаты точек В(1;1), C(1;4,66) и E(0;5).

Вычислим  значения целевой функции во всех угловых точках многоугольника решений АВСDЕ: 

A(0,833;0,833), F(X)=14*0,833+6*0,833=16,66 (min),

В(1;1), F(X)=14*1+6*1=20,

C(1;4,66), F(X)=14*1+6*4,66=41.96,

D(0;7), F(X)=14*0+6*7=42(max),

E(0;5), F(X)=14*0+6*5=30. 

Задачa № 28

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b₁, b₂, b₃ единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a₁₁ единиц, ресурса второго вида в количестве a₂₁ единиц, ресурса третьего вида в количестве a₃₁ единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве  а₁₂, а₁₃ единиц, ресурсов второго вида в количестве а₂₂, а₂₃ единиц, ресурсов третьего вида в количестве а₃₂, а₃₃ единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c₁, c₂, с₃ (тыс. руб.).

Определить  плановый объем и  структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной, где:

а₁₁=16, a₁₂=18, a₁₃=9, a₂₁=7, а₂₂=7, а₂₃=2, а₃₁=9, a₃₂=2, а₃₃=3, b₁=520, b₂=140, b₃=810, с₁=8, c₂=6, c₃=4. 

Решение 

Для решения  задачи симплексным методом построим таблицу затрат и объёма ресурсов:

Таблица 1

 

1. Запишем  математическую модель задачи.

Определить  X =(х₁,х₂,х₃), который удовлетворяет условиям

И обеспечивают максимальное значение целевой функции:

Для построения первого опорного плана систему  неравенств приведем к системе уравнений. 

 

В матрице  этой системы уравнений  А(а_ij) имеет: 
 

 

Векторы A₄, A₅, A₆, - линейно независимы, так как определитель, составленный из компонент этих векторов, отличных от нуля: 

 

Решим систему уравнений относительно базисных переменных. 

Функцию цели запишем в виде: 

 

2. Полагая, что свободные переменные x₁=0, x₂=0, х₃=0, получим первый опорный план X₁=(0,0,0,520,140,810), F(X₁)=0, в котором базисные переменные x₄=520, х₅=140, x₆=810, следовательно, товары не продаются и прибыль равна нулю, а ресурсы не используются.

Заносим первый опорный план 1 в симплексную таблицу 2

 

Таблица 2 

 

3. Первый  опорный план I не оптимальный,  так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты  -8, -6, -4.

4. За  ведущий столбец выберем столбец,  соответствующий переменной х₁, так как сравнивая по модулю имеем:

|-8| > {|-6|, |-4|} Рассчитываем  значения  по строкам, как частное от деления 

 и выбираем наименьшее:

 

Следовательно, вторая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 7 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и выделен квадратом.

5. Формируем  следующую симплексную таблицу. Вместо переменной х₅ в план II войдет переменная х₁. Строка, соответствующая переменной х₁ в плане II, получена в результате деления всех элементов строки х₅ плана I на разрешающий элемент РЭ=7.  На месте разрешающего элемента в плане II получаем 1. В остальных клетках столбца х₁ плана II записываем нули.

Таким образом в новом плане II заполнены строки х₁ и столбец х₁. Все остальные элементы нового плана II, включая элементы индексной строки определяется по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана 4 числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ=8. Во второй вершине по диагонали находится старое значение элемента, например, значение целевой функции F(X₁)=0=СЭ, которое указывает на место расположение нового НЭ в новом плане II. Третий элемент А=140 и четвертый элемент В=-8 завершают построение прямоугольника в недостающих двух вершинах и расположены по другой диагонали. Значение нового элемента в плане II находится из выражения:

                                          140* (-8)

НЭ=СЭ - (А - В)/РЭ=0-       7       =160.

Элементы  строки определяются аналогично 

      140* 16

520 -    7        =200, 
 

          16* 7

18 -      7        =2, 
 

          16* 2

9 -       7        =4,429, 
 

         1* 16