Численное решение дифференциальных уравнений

 

 

 

График интерполяционного многочлена Лагранжа и решение дифференциального уравнения.

 

3. Метод наименьших  квадратов.

3.1.Краткая теория.

Этот метод - один из краеугольных камней инженерного  образования. Используется при оптимизации, поиске наилучших аппроксимаций  в различных приложениях, лежит в основе методов статистического анализа.

Использование интерполяции для построения функциональных зависимостей не всегда целесообразно, так как совпадение значений полученных формулой с табличными значениями в  узлах интерполяции, как мы видели выше, не гарантирует близости указанного значения в других точках, отличных от узлов.

Задача о  построении эмпирической формулы состоит  в следующем.

Пусть результаты измерения (наблюдения) представлены таблицей 

 

X	X1	X2	X3	…	Xk	Xk+1	…	Xn
Y	Y1	Y2	Y3	…	Yk	Yk+1	…	Yn

 

 

и наблюдения Y связаны со значениями фактора X искомой эмпирической зависимостью Y = j(x,А₀,А₁,…,А_m), где А₀,А₁,…,А_m - некоторые неизвестные параметры. Разности j(X_k,А₀,А₁,…,А_m) - Y_k = e_k,  где U_k – наблюдения, отвечающие значениям фактора X = X_k, называют невязками, отклонениями или погрешностями.

Требуется так  подобрать неизвестные параметры  функции            j(x,А₀,А₁,…,А_m  ) , чтобы уклонение e_k оказалось наименьшим (в каком-то) смысле.

Рассмотрим  применение метода наименьших квадратов на примере приближающей функции с двумя параметрами вида:

F(x, a, b, с)= ax²+bx+c

Функция данного  вида  называется квадратичной, поэтому  рассматриваемая задача по-другому называется квадратичным аппроксимированием.

Чтоб произвести квадратичное аппроксимирование нужно найти параметры a, b, c.

Для этого нужно  составить систему из трех линейных уравнений:

          a₁₁a + a₁₂b + a₁₃c = b₁      

       a₂₁a + a₂₂b + a₂₃c = b₂      

       a₃₁a + a₃₂b + a₃₃c = b₃  

где   a₁₁ = , a₁₂ = a₂₁ =   , a₁₃ = a₂₂ = a₃₁ = ,

a₂₃ = a₃₂ = , a₃₃  = n + 1,

b₁ = , b₂ = , b₃ = .

Далее находим  квадратичную функцию F(x)= ax²+bx+c, которая и является решением дифференциального уравнения.

3.2.Пример расчета решаемой задачи.

По заданным значениям в таблице 5 произведем аппроксимацию квадратичной функции

 

 

i	xi	yi
0	2	2,5
1	2,1	2,472452
2	2,2	2,451842
3	2,3	2,438425
4	2,4	2,432407
5	2,5	2,433924
6	2,6	2,443035
7	2,7	2,459711

Таблица 5

Произведем  расчет коэффициентов:

i	x4	x3	x2	x	yi*x2	yi*xi	yi
0	16	8	4	2	10	5	2,5
1	19,4481	9,261	4,41	2,1	10,90351	5,19215	2,472452299
2	23,4256	10,648	4,84	2,2	11,86691	5,394051	2,451841552
3	27,9841	12,167	5,29	2,3	12,89927	5,608378	2,438425235
4	33,1776	13,824	5,76	2,4	14,01066	5,837776	2,43240677
5	39,0625	15,625	6,25	2,5	15,21202	6,084809	2,433923528
6	45,6976	17,576	6,76	2,6	16,51492	6,351891	2,443034837
7	53,1441	19,683	7,29	2,7	17,93129	6,64122	2,459710957
	257,9396	106,784	44,6	18,8	109,3386	46,11027	19,63179518
a33	a11	a21=a12	a13=a31=a22	a23=a32	b1	b2	b3

 

Теперь составим систему линейных уравнений и  найдем параметры a, b, c.

Решим систему  линейных уравнений методом Гаусса в MS Excel.

 

 

 

 

 

257,9396	106,784	44,6	109,3386
106,784	44,6	18,8	46,11027
44,6	18,8	8	19,6318
первое преобразование
1	0,413988	0,172909	0,423892
0	-0,39266	-0,33612	-0,84537
0	-0,33612	-0,28827	-0,7262
второе преобразование
1	0,413988	0,172909	0,423892
0	1	0,855994	2,152904
0	0	0,000557	0,002573
c=	4,615976
b=	-1,79834
a=	0,370243

Квадратичная  функция принимает вид:

F(x)=

Аппроксимация функции приведена в таблице 6:

yi	f(x)
2,5	2,500262
2,472452299	2,472227
2,451841552	2,451597
2,438425235	2,438372
2,43240677	2,432552
2,433923528	2,434137
2,443034837	2,443127
2,459710957	2,459521

Таблица 6.

Погрешность аппроксимации квадратичной функции находится по формуле: (Таблица 7)

 

 

 

 

 

yi	f(x)	(F(xi)-yi)2
2,5	2,500262	6,84095E-08
2,472452299	2,472227	5,07944E-08
2,451841552	2,451597	5,97286E-08
2,438425235	2,438372	2,80674E-09
2,43240677	2,432552	2,11553E-08
2,433923528	2,434137	4,55894E-08
2,443034837	2,443127	8,44534E-09
2,459710957	2,459521	3,59736E-08
	δ=	0,000191345

Таблица 7

 Графики  решения дифференциального уравнения,  интерполяционного многочлена и  аппроксимирующей функции.

 

 

 

 

 

 

 

4.Анализ результатов.

Для проведения анализа результатов решения  дифференциального уравнения различными численными методами построим графики  полученных результатов.

Из графиков видно, что отклонения  при вычислении дифференциального уравнения между  методами незначительные.

Все рассматриваемые  методы численного решения дифференциального  уравнения обладают вторым порядком точности, поэтому нельзя судить о  том, какой метод является более  точным.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В данной работе были исследованы численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Здесь применялись  следующие методы:

1. Метод Эйлера-Коши.
2. Интерполирование с построением интерполяционного многочлена Лагранжа.
3. Аппроксимирование линейной функцией.

А также при  построении аппроксимирующей функции был использован метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Для каждого  метода проводилась оценка погрешностей.

Таким образом, цели поставленные перед выполнением  данной работы достигнуты.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение А

 

Вычисления с помощью пакета ПП MS Excel

i	xi	yi(h)	y*	e(xi)	yi(h/2)
0	2	2,5		=(C2-F2)/3	=J2
1	2,1	=C2+0,1/2*(SIN(C2)-SIN(B2)+SIN(D3)-SIN(B3))	=C2+0,1*(SIN(C2)-SIN(B2))	=(C3-F3)/3	=J4
2	2,2	=C3+0,1/2*(SIN(C3)-SIN(B3)+SIN(D4)-SIN(B4))	=C3+0,1*(SIN(C3)-SIN(B3))	=(C4-F4)/3	=J6
3	2,3	=C4+0,1/2*(SIN(C4)-SIN(B4)+SIN(D5)-SIN(B5))	=C4+0,1*(SIN(C4)-SIN(B4))	=(C5-F5)/3	=J8
4	2,4	=C5+0,1/2*(SIN(C5)-SIN(B5)+SIN(D6)-SIN(B6))	=C5+0,1*(SIN(C5)-SIN(B5))	=(C6-F6)/3	=J10
5	2,5	=C6+0,1/2*(SIN(C6)-SIN(B6)+SIN(D7)-SIN(B7))	=C6+0,1*(SIN(C6)-SIN(B6))	=(C7-F7)/3	=J12
6	2,6	=C7+0,1/2*(SIN(C7)-SIN(B7)+SIN(D8)-SIN(B8))	=C7+0,1*(SIN(C7)-SIN(B7))	=(C8-F8)/3	=J14
7	2,7	=C8+0,1/2*(SIN(C8)-SIN(B8)+SIN(D9)-SIN(B9))	=C8+0,1*(SIN(C8)-SIN(B8))	=(C9-F9)/3	=J16

Метод Эйлера-Коши

 

 

 

 

 

 

Приложение Б

Интерполяционный  многочлен Лагранжа

i	xi	Ln	yi	e(xi)
0	2	=C2	2,5	=ABS(D12-C12)
2	2,04	2,48816687030376	2,44419583469917	=ABS(D13-C13)
4	2,08	2,4774159438205	2,39967973982707	=ABS(D14-C14)
6	2,12	2,46776626902235	2,36489509404527	=ABS(D15-C15)
8	2,16	2,45923585233117	2,33862934393163	=ABS(D16-C16)
10	2,2	=C4	2,31992294216658	=ABS(D17-C17)
12	2,24	2,4455989642674	2,30800120796964	=ABS(D18-C18)
14	2,28	2,44052230569116	2,30222336220815	=ABS(D19-C19)
16	2,32	2,43662428935133	2,30204442792649	=ABS(D20-C20)
18	2,36	2,43391600038327	2,30698687563423	=ABS(D21-C21)
20	2,4	=C6	2,31661977981935	=ABS(D22-C22)
22	2,44	2,43210405095035	2,33054387637032	=ABS(D23-C23)
24	2,48	2,4330132940949	2,34838132706179	=ABS(D24-C24)
26	2,52	2,43513783064549	2,36976926167147	=ABS(D25-C25)
28	2,56	2,43847875867334	2,39435632763484	=ABS(D26-C26)
30	2,6	=C8	2,42180157043347	=ABS(D27-C27)
32	2,64	2,44880238915457	2,45177502666154	=ABS(D28-C28)
34	2,68	2,45577521395128	2,48395945994208	=ABS(D29-C29)