Математическая логика

     

 

     СОДЕРЖАНИЕ

     Введение  ……………………………………………………………………..…3

     1. Математическая логика (бессмысленная  логика) и логика «здравого смысла»  …………………………………………………………………………….…4

     2. Математические суждения и умозаключения  …………………………….6

     3.Математическая  логика и «Здравый смысл» в XXI веке. ………………..10

     3.1.. Неестественная логика в основаниях математики …………………….11

     Заключение  …………………………………………………………………....14

     Глоссарий……………………………………………………………………...15

     Список  используемых источников ………………………………………….16

 

     Введение 

     Расширение области логических интересов связано с общими тенденциями развития научного знания. Так, возникновение математической логики в середине XIX века явилось итогом многовековых чаяний математиков и логиков о построении универсального символического языка, свободного от «недостатков» естественного языка (прежде всего его многозначности, т.е. полисемии).

     Дальнейшее  развитие логики связано с совокупным использованием классической и математической логики в прикладных областях. Неклассические логики (деонтическая, релевантная, логика права, логика принятия решений и др.) часто имеют дело с неопределенностью и нечеткостью исследуемых объектов, с нелинейным характером их развития. Так, при анализе достаточно сложных задач в системах искусственного интеллекта возникает проблема синергизма различных типов рассуждения при решении одной и той же задачи. Перспективы развития логики в русле сближения с информатикой связаны с созданием определенной иерархии возможных моделей рассуждения, включающих рассуждения на естественном языке, правдоподобные рассуждения и формализованные дедуктивные выводы. Это решается средствами классической, математической и неклассической логик. Таким образом, речь идет не о разных «логиках», а о разной степени формализации мышления и «размерности» логических значений (двузначная, многозначная и др. логика).

• Выделение основных направлений современной логики:
• 1. общей, или классической логики;
• 2. символической, или математической логики;
• 3. неклассической логики.

 

     1 глава основной  части

     Математическая логика (бессмысленная логика) и логика «здравого смысла»

     Математическая  логика понятие достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик  также бесконечно много. Здесь будем  обсуждать некоторые из них, отдавая  больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл... Логично?

     Математическая  логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что "логичность" рассуждений  в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией... Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, "Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня" и "Поспешишь людей насмешишь". Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).

     Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна.

     Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки.

     (Хорошо  сложилось последнее предложение,  хотя определить термин "логическая  наука" не возьмусь даже  приблизительно). Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория  моделей. Да и вообще, термин  семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об'екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!

     В практическом плане семантикой вынуждено  интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики...

     Еще лишь упомянем апофеоз - ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ, которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой - разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться... Это для избранных.

     Так чем же занимается логика? Хотя бы в  самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике - это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(!) в значительной степени автоматическими...

     Другое  дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне  рамок логики! Поэтому в них  требуется строгий математический смысл! 6

     Может показаться, что это простая словесная  эквилибристика. НЕТ! В качестве примера  некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА, что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!

     Не  больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую  называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь  вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать  логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Особенно психологам и юристам. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. Это относится прежде всего к так называемым законам ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО и ПРОТИВОРЕЧИЯ.

 

     2 глава основной части.

       Математические суждения  и умозаключения

     В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются  между собой. Формой связи понятий  друг с другом является суждение. В  каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение "всякий ромб является параллелограммом" - истинное суждение; суждение "всякий параллелограмм является ромбом" - ложное суждение.

     Таким образом, суждение - это такая форма  мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

     Мыслить - значит высказывать суждения. С  помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.

     Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений  или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать  как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия  в класс другого понятия. Например, суждение "всякий квадрат есть ромб" указывает, что понятие "квадрат" включается в понятие "ромб"; суждение "пересекающиеся прямые не являются параллельными" указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.

     Суждение  имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением.

     Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

     Например, предложение "треугольник АВС равнобедренный" выражает некоторое суждение; предложение "Будет ли АВС равнобедренным?" не выражает суждения.

     Каждая  наука по существу представляет собой  определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.

     Вообще  говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например "эта фигура -т- круг". Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, "множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность".

     В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между  собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

     Итак, умозаключением называется процесс  получения нового суждения вывода из одного или нескольких данных суждений. Например, диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника (первое суждение).

     Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (второе суждение).

     Сумма внутренних углов параллелограмма  равна 4d (новое суждение-вывод).

     Познавательное  значение математических умозаключений  чрезвычайно велико. Он" расширяют  границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основныхo суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.

     Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что  оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.

     Не  всякое сочетание суждений между  собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в  реальной действительности.

     Например, из суждений "сумма внутренних углов  треугольника равна 2d" и "2*2=4" нельзя сделать вывод.

     Понятно, какое значение в системе наших  математических знаний имеет умение правильно строить различные  математические предложения или  делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая" в XIX в. специальная область науки - математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.