Элементы математической логики. Логические операции над высказываниями. Решение задач

Элементы  математической логики. Логические операции над высказываниями. Решение задач. 
 

Логика  — наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний (утверждений). Логика изучает методы доказательств и  опровержений.

 

Математическая  логика — современная форма логики, опирающаяся на формальные математические методы. 

Основные  объекты логики — высказывания, то есть предложения, которые могут  быть либо истинными, либо ложными. Существуют два подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опытный) и логический. При эмпирическом подходе  истинность высказываний устанавливается  на основе наблюдений, экспериментов, документов и других фактов. При  логическом подходе истинность высказываний доказывается на основе истинности других высказываний, то есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения  к фактам. 
 

Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.   

В математической логике не рассматривается сам смысл  высказываний, определяется только его  истинность или ложность, что принято  обозначать соответственно И или  Л.  

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами  “и”, “или”. 

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью  некоторого математического аппарата.    

Вводятся  следующие логические операции (связки) над высказываниями 

 

1)      Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

     Обозначается  Р или .   

     Соответствие  между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем  случае эта таблица имеет вид:   

 

  

2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.  

Обозначается  P&Q или РÙQ.   

 

  

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. 

Обозначается PÚQ.   

 

  

4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно. 

Обозначается  PÉQ (или РÞQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.  

 

  

5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают. 

Обозначается  Р~Q или РÛQ.   

 

  

С помощью  этих основных таблиц истинности можно  составлять таблицы истинности сложных  формул.    

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

 

Составим  таблицы истинности для каждой формулы:   

 

 

 

  

Данные формулы  не являются эквивалентными.  

     Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

  

     Составим  таблицы истинности для заданных формул.   

 

 

   

 

  

Из составленных таблиц видно, что данные формулы  не равносильны.   
 

Задача 

Три свидетеля  дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на синем «Рено», Джон сказал, что нарушитель уехал  на черной «Тойоте», а Сэм показал, что машина была точно не синяя  и, по всей видимости, это был «Форд». Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил  только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

Решение.

Введем обозначения  для высказываний из условия задачи:

А = «Машина была синего цвета»;

В = «Машина была марки "Рено"»;

С = «Машина была черного цвета»;

D = «Машина была  марки "Тойота"»; 

Е = «Машина была марки "Форд"».

Согласно условию  задачи с учетом того, что каждый из свидетели ошибся только в одной  характеристике машины, можем записать следующие выражения:

из показаний  Боба следует, что A ˅ В истинно;

из показаний  Джона следует, что С ˅ D истинно;

из показаний  Сэма следует, что ¬ A ˅ Е истинно.

Следовательно, истинна и конъюнкция: (A ˅ В) ˄ (C ˅ D) ˄ (¬ A ˅ Е) = 1.

Раскрывая скобки, получим:

(A ˅ В) ˄ (C ˅ D) ˄ (¬ A ˅ Е) = ((A ˄ C) ˅ (А ˄ D) ˅ (В ˄ C) ˅ (В ˄ D)) ˄ (¬ A ¬ Е) = (A  ˄ C ˄ ¬ A) ˅  (A ˄ D ˄ ¬ A) ˅ (B ˄ C ˄ ¬ A) ˅ (B ˄ D ˄ ¬ A) ˅ (A ˄ С ˄ Е) ˅ (A ˄ D ˄ Е) ˅ (В ˄ С ˄ Е) ˄ (В ˄ D ˄ Е) = 1.

Рассмотрим каждое из слагаемых в этом выражении.

А ˄ С ˄  ¬ А = 0 —  по свойству конъюнкции;

A ˄ D ˄ ¬A = 0 — по свойству конъюнкции;

В ˄ D ˄ ¬ A = 0 —  так как В = «Машина была марки "Рено"», a D = «Машина была марки "Тойота"»;

А ˄ С ˄  Е = 0 — так как А = «Машина была синего цвета», а С = «Машина была черного цвета»;

A ˄ D ˄ Е  = 0 — так как D = «Машина была  марки "Тойота"», а Е = «Машина  была марки "Форд"»;

В ˄ С ˄  Е = 0 — так как В = «Машина была марки "Рено"», а Е = «Машина  была марки "Форд"»;

В ˄ D ˄ Е = 0 —  так как В = «Машина была марки "Рено"», а Е = «Машина была марки "Форд"».