Моделирование транспортных процессов и систем

  

   7. Понятие о теории  массового обслуживания  в решении задач 

  Теория массового  обслуживания является одним из разделов теории вероятностей. В последние  годы она получила развитие и выделилась в самостоятельный раздел математики. Основоположником теории массового  обслуживания является датский ученый А.К. Эрланг. Его первая работа по этому  вопросу была опубликована в 1909 году.

  Идеи и методы теории массового обслуживания в  настоящее время получают широкое  распространение на автомобильном  транспорте. Используя теорию массового  обслуживания, можно находить оптимальные  и близкие к оптимальным решения таких практических задач, как определение числа постов погрузки, выгрузки и технического обслуживания, оптимизация процесса заправки автомобилей топливом, определение величины резерва подвижного состава, выбор количества подвижного состава, обслуживание населения автомобилями-такси и другие.

  Термин массовое обслуживание означает, что речь идет не о конкретном объекте, а о совокупности объектов, потребности которых требуется  удовлетворить.

  Общая модель системы  массового обслуживания состоит  из обслуживаемой и обслуживающей  систем.  Обслуживаемая система включает совокупность источников требований и входящего потока требований.

  Требование  – это запрос на выполнение работы (погрузки-выгрузки, заправки топливом, ремонта, посадки в транспорт  для поездки и другие).

  Источник требований – это объект (диспетчер, водитель, пассажир, механизм и так далее), который может послать в обслуживающую  систему только одно требование.

   Носитель требований, например водитель, автомобиль или  агрегат, которому могут понадобиться услуги, запасные части, житель города, которому понадобилось свободное такси. Требования и его носитель часто  отождествляются. Требования от всех источников в обслуживающую систему образуют входящий поток требований.

   Для применения теории массового обслуживания нужно изучать и анализировать  фактические данные. Практическая цель применения теории – это предсказание поведения системы при ее будущей  работе еще до того, как система  создана, то есть на стадии проектирования системы.

  В соответствии с поведением требований системы  подразделяются на три группы:

  1. Система с  отказами, в которых требование, заставшее обслуживающие аппараты  занятыми, получает отказ и теряется. Например, автомобиль уезжает со  станции технического обслуживания, если посты заняты;

  2. Система с  ожиданиями, например, автомобиль ожидает  погрузки;

  3. Смешанные   системы,  например, часть автомобилей уезжает с автозаправочной станции, если очередь на заправку велика.

  Теория массового  обслуживания позволяет определить оптимальный характер функционирования системы массового обслуживания по характеристикам ее частей.

  Процессы  в обслуживаемой системе (поступление  автомобилей на погрузку-выгрузку, на заправку топливом, на станцию технического обслуживания; заявки на такси; подход пассажиров на остановки транспорта и другие) в подавляющем большинстве  случаев распределяются согласно вероятностным  законам Пуассона и Эрланга. Такие  системы принято называть пуассоновскими. Аналитические зависимости, описывающие  указанные вероятностные законы, в общем случае являются аналитическими моделями этих процессов.

  Вероятность событий, распределенных по закону Пуассона, имеет вид рис. 9.1,а и описывается  зависимостью

                                         

                              (7.1) 

   где Р(m,a) – вероятность появления события при заданном значении параметра а, равна m раз; а = λt – математическое ожидание; m – случайная величина, число событий за данный отрезок времени; t – отрезок времени, за который рассматривается поведение случайной величины; е = 2,71… - основание натурального логарифма.

   В практической работе задача оптимизации  процессов в обслуживаемой системе  включает следующие этапы:

  1. Наблюдение  за данными в эксплуатации  автомобилей и их группировка; 

  2. Выбор  закона распределения для аппроксимации  данных (закон Пуассона, Эрланга  и другие);

  3. Оценка  конкретных параметров закона  и построение аналитической модели  рассматриваемого процесса;

  4. Получение  оптимального решения по аналитической  модели процесса. 
 

    8. Задача 1 

    Оптимизация грузопотоков с помощью модели транспортной задачи линейного программирования 

  Таблица 8.1 

                                      Расстояния между пунктами, км 

 

  Объемы отправления  и потребления груза, т. 

  а₁ =15, а₂ =20, а₃ =25, а₄ =30.

  b₁= 5, b₂=25, b₃=38, b₄=12,  b₅=2, b₆=8. 

  Решение:

  

    

  Таблица 8.2 

  Исходный  допустимый план перевозок 

 

   

  P= 25+12+32+126+12+105+60+84+92=548 т*км. 
 
 
 

  Таблица 8.3 

  Модифицированный  допустимый план перевозок 

 
 

  P= 25+12+32+126+12+70+56+60+120=513 т*км. 

  Таблица 8.4 

  Конечный допустимый план перевозок 

 
 

  P= 25+16+32+126+12+50+56+72+120=509 т*км. 
 

  

  

9. Задача 2

 

  Выполнить проектирование развозочного маршрута с пунктом погрузки в точке В и 3 пунктами разгрузки. Точки разгрузки и их потребность в грузе выбираются по предпоследней цифре шифра студента по табл. 9.1. 

    Таблица 9.1                                                   

                                                                      

          Пункты разгрузки груза и их потребность в грузе для составления

развозочного маршрута 
 

 

  

    

  Решение: 

Таблица 9.2 

    Результаты расчета пробега и грузооборота в развозочной системе