Статистические и динамические закономерности в природе

   Смена динамических теорий статистическими  не означает, что старые теории отменены и сданы в архив. Практическая их ценность в определенных границах нисколько не умаляется. При разговоре о смене теорий имеется в виду, в первую очередь, смена глубоких физических представлений более глубокими представлениями о сущности явлений, описание которых дается соответствующими теориями. Одновременно со сменой физических представлений расширяется область применения теории. Статистические теории расширяются на больший круг явлений, недоступных динамическим теориям.

   3.1. Особенности описания состояний в статистических теориях

   Согласно  общепринятой терминологии под динамическими  закономерностями (или теориями) понимаются закономерности, в которых связи всех физических величин однозначны. В статистических закономерностях (или теориях) однозначно связаны только вероятности определенных значений тех или иных физических величин, а связи между самими величинами неоднозначны. Общность этих теорий проявляется, прежде всего, в том, что все они вводят в качестве основного понятия состояние физической системы. Различие же между ними - в определении этого состояния. Например, в классической механике, являющейся динамической теорией, состояние задается координатами и импульсами материальных точек. В другой динамической теории - классической (феноменологической, эмпирической) термодинамике - состояние системы определяется давлением, объемом и температурой некоторой массы вещества. Эволюция этих состояний описывается соответствующими уравнениями - уравнением движения (в форме второго закона Ньютона) в механике и уравнениями переноса в термодинамике неравновесных процессов.

   В статистической механике состояние  системы определяется совершенно иначе: не положениями и импульсами частиц, а вероятностями того, что та или иная частица имеет координаты и импульсы в определенном диапазоне возможных значений. Чтобы лучше представить себе специфику такого подхода, рассмотрим конкретный пример. Пусть в результате многократного измерения координаты x некоторой частицы получено N значений, в общем случае отличающихся друг от друга,

   x1, x2, ..., xN

   Чтобы наглядно представить эти значения, строят ступенчатый график, который  называется гистограммой (рис.1). Для этого интервал [xmin, x max] на оси абсцисс, в который попадают все значения серии , разбивают на k одинаковых по ширине интервалов x i, (i =1, 2 ..., k) и на каждом из них строят прямоугольник, высота которого равна относительному числу Ni/N, попавших в соответствующий интервал, деленному на ширину интервала x. Тогда при достаточно больших Ni и N площадь каждого прямоугольника будет равна вероятности Pi = Ni / N попадания результатов измерения  в соответствующий интервал x i.

   Если  теперь устремить N к бесконечности и одновременно ширину интервалов x - к нулю, то ступенчатый график - гистограмма - перейдет в плавную кривую r (x) (рис.1), которая называется плотностью вероятности (или функцией распределения) случайной величины x. Смысл этой функции остается прежним: ее значение в той или иной точке x определяет вероятность dP того, что измеренное значение случайной величины x попадет в малый интервал [x, x + x]

   dP = r(x) dx

   Таким образом, если в классической механике состояние N материальных точек (являющихся, например, теоретической моделью идеального газа) задается значениями N радиус-векторов ri и N импульсов pi, то в статистической механике состояние тех же N материальных точек определяется функцией распределения r (r1, p1; r2, p2; ... rN, pN; t), с помощью которой можно вычислить вероятность того, что координаты и импульсы этих N точек находится между r1 и r1+dr1, p1 и p1+dp1, ..., rN и rN+drN, pN и pN +dpN.

   Рис.1. Гистограмма и плотность распределения вероятности случайной величины X

   Эволюция  состояния в фундаментальных  статистических теориях определяется уравнениями движения, так же как  и в динамических теориях. По заданному  статистическому распределению в начальный момент времени однозначно определяется распределение в любой последующий момент времени. Никакого отличия в этом отношении от динамических теорий нет. В частности, в классической статистической механике эволюция функции распределения r (r1, p1; r2, p2; ...; rN, pN; t) со временем описывается с помощью уравнения Лиувилля, точное решение которого - практически недостижимая задача, так как число входящих в него переменных огромно. Поэтому используются приближенные статистические описания с помощью более простых функций распределения.

   Например, если система состоит из N одинаковых слабо взаимодействующих частиц, то состояние такой системы можно  описать с помощью так называемой одночастичной функции распределения r (r, p, t), которая определяет среднее число частиц с определенными значениями координат и импульсов. Эта одночастичная функция распределения подчиняется гораздо более простому, чем уравнение Лиувилля, уравнению Больцмана. Главной особенностью статистических уравнений движения (Лиувилля, Больцмана и др.) является то, что их решения соответствуют необратимой трансформации функции распределения r к некоторому равновесному значению. Это означает, что какой бы ни была начальная функция распределения частиц (например, она может соответствовать ситуации, когда все частицы сосредоточены в каком-то определенном месте объема), в конце концов эта функция распределения, постепенно изменяясь, станет равновесной (в частности, будет соответствовать равномерному распределению частиц по объему). Таким образом, статистическая механика позволяет адекватно описать необратимое поведение системы, состоящей из большого числа частиц.

   3.2 Энтропия

   Еще до возникновения статистической термодинамики  и даже до перехода к молекулярно-кинетическим представлениям о природе теплоты были известны два основных закона термодинамики, которые обобщали известные к тому времени опытные факты. Один их них - первое начало термодинамики - являлся фактически законом сохранения энергии и формулировался следующим образом: количество теплоты Q, сообщенное системе (например, газу), равно сумме приращения ее внутренней энергии U (а фактически температуры Т) и совершенной механической работы A:

   Q = U + A

   Этот  закон, однако, ничего не говорил о  направлении протекания тепловых процессов. Например, ему не противоречит замерзание некоторого объема воды, помещенного в раскаленную печку. Необратимость тепловых процессов отражает специальный закон - второе начало термодинамики, имеющий несколько эквивалентных формулировок, таких как: 
- тепло не может самопроизвольно перетекать от холодного тела к горячему; 
- нельзя построить вечный двигатель 2-го рода, который совершал бы полезную работу только за счет охлаждения теплового резервуара; 
- нельзя достичь температуры абсолютного нуля; 
- энтропия замкнутой системы является неубывающей функцией, т. е. при любом реальном процессе она либо возрастает, либо остается неизменной. 
Понятие энтропии, введенной в термодинамику Клаузиусом, носило первоначально искусственный характер. Знаменитый французский ученый А. Пуанкаре писал по этому поводу: "Энтропия представляется несколько таинственной в том смысле, что величина эта недоступна ни одному из наших чувств, хотя и обладает действительным свойством физических величин, потому что по крайней мере в принципе вполне поддается измерению".

   По  определению Клаузиуса, энтропией  называется такая физическая величина, приращение которой S равно количеству тепла Q, полученному системой, деленному  на абсолютную температуру 

   S = Q / T

   Если  два тела, имеющие разные температуры Т1 и Т2 (Т1>Т2), привести в тепловой контакт, то изменение энтропии этой системы S будет складываться из изменения энтропии первого тела S1 и изменения энтропии второго тела S2: S = S1 + S2. Пусть первое тело, как более горячее, отдает второму небольшое количество тепла Q, тогда S1 = - Q/T1, S2 = Q/T2, S = Q (1/T2 - 1/T1) >0. Таким образом, при перетекании тепла от горячего тела к холодному энтропия системы, действительно, возрастает. "Энтропия является, следовательно, величиной, - продолжает Пуанкаре, - в некотором роде измеряющей эволюцию данной системы или по крайней мере указывающей направление этой эволюции".

   Физическая  сущность понятия энтропии была вскрыта  статистической механикой. Оказалось, что энтропия S - это не что иное, как умноженный на постоянную Больцмана k = 1,38Ч10-23 Дж/К натуральный логарифм вероятности Р данного состояния  макроскопической системы

    
S = k lnP.

   При таком определении энтропии становится понятным, что возрастание энтропии замкнутой системы - это всего  лишь естественный переход системы  в наиболее вероятное состояние. С понятием вероятности состояния, а, следовательно, с энтропией связано представление об упорядоченности системы. Чем больше порядок в системе (например, все молекулы идеального газа находятся в одной точке пространства), тем меньше ее энтропия и меньше вероятность такого состояния. Наоборот, чем меньше упорядочена система - тем больше ее энтропия, больше вероятность такого состояния. Таким образом, статистический смысл второго начала термодинамики заключается в том, что изолированные системы самопроизвольно переходят из упорядоченного в неупорядоченные состояния.

   3.3. Взаимосвязь динамических и статистических закономерностей

   Статистические  законы и теории имеют следующие  характерные черты.

   1. В статистических теориях любое состояние представляет собой вероятностную характеристику системы. Это означает, что состояние в статистических теориях определяется не значениями физических величин, а статистическими (вероятностными) распределениями этих величин. Это принципиально иная характеристика состояния, чем в динамических теориях, где состояние задается значениями самих физических величин.

   2. В статистических теориях по известному начальному состоянию в качестве результата однозначно определяются не сами значения физических величин, а вероятности этих значений внутри заданных интервалов. Тем самым однозначно определяются средние значения физических величин. Эти средние значения в статистических теориях играют ту же роль, что и сами физические величины в динамических теориях. Нахождение средних значений физических величин – главная задача статистических теорий.

   Вероятностные характеристики состояния в статистических теориях совершенно отличны от характеристик состояния в динамических теориях. Тем не менее, динамические и статистические теории обнаруживают в самом существенном отношении замечательное единство. Эволюция состояния в статистических теориях однозначно определяется уравнениями движения, как и в динамических теориях. По заданному статистическому распределению (по заданной вероятности) в начальный момент времени уравнение движения однозначно определяет статистическое распределение (вероятность) в любой последующий момент времени, если известны энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешними телами. Однозначно определяются соответственно и средние значения всех физических величин. Здесь нет никакого отличия от динамических теорий в отношении однозначности результатов.

   Ведь  статистические теории, как и динамические, выражают необходимые связи в  природе, а они вообще не могут  быть выражены иначе, чем через однозначную  связь состояний.

   На  уровне статистических законов и  закономерностей мы также сталкиваемся с причинностью.

   Статистические  законы и теории являются более совершенной  формой описания физических закономерностей, любой известный на сегодняшний  день процесс в природе более  точно описывается статистическими  законами, чем динамическими. Однозначная связь состояний в статистических теориях говорит об их общности с динамическими теориями. Различие между ними в одном – способе фиксации (описания) состояния системы.

   Когда стало очевидно, что нельзя отрицать роль статистических законов в описании физических явлений (все экспериментальные данные полностью соответствовали теоретическим расчетам, основанным на подсчетах вероятностей), была выдвинута теория «равноправия» статистических и динамических законов. Те и другие законы рассматривались как законы равноправные, но относящиеся к различным явлениям, имеющие каждый свою сферу применения, не сводимые друг к другу, но взаимно дополняющие друг друга.

   Эта точка зрения не учитывает того бесспорного  факта, что все фундаментальные  статистические теории современной физики (квантовая механика, квантовая электродинамика, статистическая термодинамика и т.д.) содержат в качестве своего приближения соответствующие динамические теории. Поэтому сегодня многие крупные ученые склонны рассматривать статистические законы как наиболее глубокую, наиболее общую форму описания всех физических закономерностей.

   Статистические  закономерности ничуть не менее объективны, чем динамические, но шире и разностороннее и  отражают взаимосвязь явлений  материального мира.

   Доминирующее  значение статистических законов означает переход к более высокой степени  оценки эволюционного развития систем. При рассмотрении соотношения между  динамическими и статистическими  законами мы встречаемся с двумя  аспектами этой проблемы.

   В аспекте, возникшем исторически  первым, соотношение между динамическими  и статистическими законами выступает  в следующем плане: законы, отражающие поведение индивидуальных объектов, являются динамическими, а законы, описывающие  поведение большой совокупности этих объектов, статистическими.