История цифр. Числа и счисление

Наверное, очень многие умеют складывать, вычитать и делить на два на счетах.

Вот несколько приемов (пользуясь которыми, всякий умеющий быстро складывать на счетах, сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения).

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собой.

Умножение числа на 5 выполняется  на счетах так: переносят все число  одной проволокой выше, то есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 помощью счетов — мы уже объяснили выше).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое. Вместо умножения на 7, множат на 10 и  отнимают умножаемое три раза.

Умножение на 8 заменяют умножением на 10 минус два.

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 минус один.

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все число  одной проволокой выше.

Вероятно, уже можно сообразит, как надо поступать при умножении на числа, больше 10, и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить 10 + 1. Множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2+10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п.; поэтому надо стремиться при разбивке множителей, пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам  прибегают и при умножении  на числа, больше 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения — это все же дает некоторое сокращение времени,

 Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножать: для этого нужно запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно замысловатых.

Делить на 2 очень просто. Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в замене деления умножением на бесконечную периодическую дробь 0,333... (известно, что 0,333.. = ) Умножать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшить в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После недолгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике. Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делением на 2. Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата. На 6 делят в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3. Деление на 7 выполняется с помощью счетов чересчур сложно, и потому здесь излагать его не будем. На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полученное вновь на 2 и затем еще раз на 2. Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что = 0,1111 ... Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно   последовательно   складывать   0,1   делимого + 0,01 его и т. д.

Всего проще, как видим, делить на 2, 10 и 5 и, конечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3 Устный счет

 

Жизнь для внимательного  человека не только удивительно разнообразна, но и гениально проста. В полной мере эта фраза относится и к устному счету. Часто при арифметических действиях над числами можно облегчить свой труд, если знать основы арифметики и обладать некоторой смекалкой. Д.Р.Гончар рассказывает о следующих особенностях чисел, помогающих упростить счет:

Промежуточное приведение к «круглым» числам. Если хотя бы одно слагаемое близко к «круглому» числу десятков, сотен и др., т. е. А*10ⁿ – z, где z – сравнительно малое число, то вычисления можно упростить, приведя одно из слагаемых к ближайшему «круглому» числу и выполнив более легкое вычисление (затем, разумеется, учтя поправку).

Приведу пример, так как  понять «с ходу» такой способ нелегко. (Дальше на каждый способ также будут  приводиться примеры)

54 + 95 = 50 + 4 + 100 – 5 = 150 + 4 – 5 = 150 – 1 = 149.

Как видно из примера, полезно приводить слагаемые и к числам, кратным 50, 25 и т. д. Все зависит от конкретного случая и, повторюсь, от вашей смекалки. Такой способ кажется мне самым распространенным, причем многие проделывают такие вычисления автоматически, совсем не задумываясь над математическим смыслом и логичностью способа и уж тем более не догадываясь как он называется. Такому приему даже не надо учить, люди сами осваивают его в процессе изучения математики, постоянно сталкиваясь с такого рода вычислениями и ища пути полегче.

Использование изменения порядка счета. Интересный способ, позволяющий работать с большими числами. Заключается он в том, что при сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старших разрядов. Это существенно облегчает устное вычисление.

3264 + 2861 + 4100 = ? Складываем  старший разряд слагаемых: 3 + 2 + 4 = 9; домножаем сумму на 10 (приписываем  0): 9*10 = 90; продолжаем прибавлять цифры  следующего разряда:

90 + 2 + 8 + 1 = 101; повторяем  операцию: 101*10 +6 +6 + 0 = 1010 + 12 = 1022; и еще раз:

1022*10 + 4 + 1 +0 = 10220 + 5 = 10225.

Эти же способы, слегка их изменив, можно применять и к вычитанию. Д.Р.Гончар предлагает и другие методы, но мне они кажутся чересчур надуманными, так как применимы они либо в очень ограниченном количестве случаев (например способ в котором сумма нескольких слагаемых ищется по формуле суммы членом арифметической прогрессии), либо слишком сложны (как, например, складывание шестизначных чисел по разрядам попарно).

Предложу еще один способ, которым всегда пользуюсь, когда ясно, что при вычитании получится отрицательное число. Принцип элементарен. Вытекает он из справедливости равенства 

 a – b = - (b – a).

Пример:       3627 – 9849 = ?      Гораздо легче посчитать разность  9849 – 3627 = 6222. Результат (с минусом) и будет ответом:    3627 – 9849 = - 6222.

Можно облегчить и  умножение, если, например, числа множителя делятся друг на друга:

32*36 = (32*3)*10 + (32*3)*2 = 96*10 +96*2 = 960 + 192 = 1152.

Облегчить умножение  можно, использовав принцип «русского» способа умножения, о котором уже писалось в параграфе «Умножение и деление без приборов». Так, постепенно увеличивая один из множителей в n раз, а другой уменьшая в n раз, можно привести один из множителей к «круглому» виду:

75 * 24 = 75 * * 24 * = 100 * 18 = 1800.

Есть и еще способы, основанные на самых основных законах  арифметики (распределительный и  сочетательный). Таких способов много, но перечислять их все не имеет смысла.

 

 

Заключение

 

Связь чисел с нашей жизнью велика, они помогают нам быстро считать, логически мыслить, развивать наше мышление. Без чисел и счислений не представляется работа любой вычислительной техники, развития высоких технологий и жизни на земле.

Нашим предкам было трудно в древние времена писать и считать цифры, и они находили удобные способы счёта и счислений. В результате многих столетий их опыт накопился и пригодился будущим поколениям. Это послужило большим вкладом в развитии многих наук, в том числе и в математике.

Исторические математические вычисления пригодились в изучении и развитии математики и других наук связанных с ними. С годами  люди выделили из множества вычислений наиболее простые и быстрые, которыми пользуются и изучают с их помощью математику в наши дни в учебных заведениях.

Изобретение десятичной системы счисления относится  к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная  техника и наука вообще.

 

  
Список литературы:

 

1. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – 1-е изд. – Л.: Время, 1926.

2. Свечников А.А. Путешествие в историю математики. – М.: Педагогика-Пресс, 1995.

4. Олехник С.Н. и др. Старинные занимательные задачи. / С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов. -  М.: Вита-Пресс, 1994.

5. Коляда М.Г. Окно в удивительный мир информатики. – М.: Сталкер, 1997.

6. Гончар Д.Р. и др. Устный счет и память. / Д.Р. Гончар, А.Р. Лурия, В.В.Аткинсон. – М.: Сталкер, 1998.