История цифр. Числа и счисление

Армавирский государственный  педагогический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р Е Ф Е Р А  Т

 

Тема: « История цифр. Числа и счисление»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила

Ярчевская Е.В.,

ОЗО, 1 курс, 151 группа,

педагогика и методика дошкольного образования

 

 

 

руководитель:

Радионова О.Н.

 

 

 

Армавир 2010

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Введение………………………………………………………………3

 

Глава 1 История цифр………………………………………………..4

 

1. Этап появления цифр…………………………………………….4

 

2. Старинные способы нумерации…………………………………6

 

Глава 2 Счисления……………………………………………………9

 

2.1 Системы счисления………………………………………………9

 

2.2 Умножение и деление без приборов ……………………………12

 

2.3 Умножение и деление на счетах…………………………………17

 

Глава 3 Устный счёт ………………………………………………….20

 

Заключение……………………………………………………………22

 

Список литературы……………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

С небольшими числами  иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко  узнать «в лицо», так что считать  их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек – один объект, в данном случае овца.

Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно не набрать, и поднять такой мешок не каждому под силу. В некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20…

Значение цифр и чисел  в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что в составе человеческого мозга есть структуры (кора левого полушария у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких структур нет ни у одного другого животного. Благодаря им, человек может писать, читать, говорить, произносить самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного мозга человек смог в первый раз произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни без алфавита и слов.

В математике таким алфавитом  являются цифры, а словами – числа. Есть много общего: своеобразными языками в математике являются системы счисления. В таких алфавитах буквы – цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ.

 

Глава 1.   История цифр

 

1.1Этап появления цифр

 

Давно, очень давно  это было. Человек сидел у водопоя, спрятавшись в кустах, и ждал зверя. К воде подошел олень с большими ветвистыми рогами. Охотник загнул на руке палец. Затем к водопою вышел безрогий олень. Охотник загнул еще один палец. Всю ночь просидел в засаде охотник, но больше ни одного зверя не увидел. Утром он рассказывал старшему соплеменнику о своих наблюдениях:

— Сижу, смотрю, вышел  к водопою рогатый олень (охотник для подтверждения положил на ладонь угловатый камешек), а затем вышел безрогий олень (положил рядом с первым овальный камешек). Больше зверей не было до утра.

— Так к водопою  сначала подошел один олень, а затем еще один? — переспросил родич и поднял два пальца.

— Да, — ответил охотник.

К следующей ночи старший  собрал большую группу мужчин с копьями. Он тщательно продумал, куда посадить одного охотника, куда — двух, а куда и трех. Все были размещены у водопоя так, чтобы подошедший олень попал в окружение. Охота была удачной.

Этот случай показывает, что уже на заре развития человеческого общества люди замечали, что различные группы предметов — звери, охотники, камни — могут иметь одно и то же число: два пальца, два зверя, два камня и т. д. В наши дни об этом знает любой первоклассник. Если разложить напротив друг друга, например, кружки и палочки, нетрудно убедиться, что кружков окажется столько же, сколько палочек. Этим мы устанавливаем взаимно-однозначное соответствие. Так и первобытные люди, сопоставляя одну группу (множество) предметов с другой (другим множеством), видели сходство и различие обеих групп (множеств).

В то далекое время  понимание того, что одна группа (множество) может быть похожа на другую (множество), стало для человека громадным  продвижением в его развитии. Это было величайшим открытием. Оно помогло людям научиться видеть взаимно-однозначное соответствие предметов двух множеств, а затем и считать эти предметы.

Постепенное совершенствование жизненного уклада первобытных людей способствовало возникновению у них потребности считать, но прошли десятки столетий, прежде чем люди приобрели это умение.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов — одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: «один», а если их было больше — «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

В некоторых племенах Австралии долгое время пользовались только числами «один» и «два», а все другие называли, повторяя эти числа или говоря «много».

В одном из австралийских  племен считали иначе. Один называли «мал», два — «булан», три — «гулиба», т. е. названия имели только три первых числа, а другие числа, например 4, называли «булан-булан» и т. д. Эти исторические факты показывают, как люди учились считать. Так как в далекие времена общение между разными народами было затруднено, то способы счета и названия чисел в разных местах одной страны были неодинаковы.

С появлением городов  и каменных сооружений все больше людей стали заниматься письменностью  и началами математики. Самые сведущие придумали специальные знаки для записи чисел. Эти знаки, выполняющие роль цифр, были удобны для чтения, но для их записи требовалось довольно много времени.

 

1.2  Старинные способы нумерации

 

Более сложный способ обозначения чисел был придуман римлянами. Они записывали числа черточками, и времени для этого требовалось меньше. Ученые предполагают, что римская пятерка – это упрощенное изображение руки с пятью растопыренными пальцами, а десять – это две сложенные вместе пятерни.

В старину на Руси цифры  обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставился специальный знак « ~ », называемый «титло». Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева внизу ставился специальный знак. Десятки тысяч назывались «тьмы», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками. Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много народу. Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек. Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», и их обозначали, обводя знаки единиц, кружками их крестиков или ставя по обе стороны буквы, букву К. Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под ней ставили квадратные скобки. Остальные числа записывались буквами слева направо. При записи больших чисел, чем тысячи, в практической деятельности часто вместо кружков знак, обозначающий тысячу, ставили перед буквами, обозначавшими десятки и сотни. В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до числа 10⁵⁰. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети».

         Тьмой называли 106, легеоном – 10¹², леодром – 10²⁴, вороном – 10⁴⁸, а колодой, самым большим числом великого счета, - 10⁴⁹. В том, что дальше 10⁵⁰ счет не велся, оба источника согласны.

Сходная нумерация существовала у греков. Для нумерации чисел греческие математики придумали алфавитную нумерацию. Первая буква их алфавита – альфа обозначала 1, вторая – бета – 2 и т. д.

В дореволюционное время  на вещах, купленных у офеней или  в частных магазинах, особенно провинциальных, можно было зачастую заметить непонятные буквенные обозначения вроде: а ве в уо.

Это не что иное, как  цена вещи без запроса, которую торговец обозначал на товаре, но так, однако, чтобы ее не мог разгадать покупатель. Бросив взгляд на эти буквы, торговец сразу проникал в их скрытый смысл и, сделав надбавку, называл покупателю цену с запросом.

Система обозначений была весьма проста. Торговец выбирал какое-нибудь слово, составленное из 10 различных букв; чаще всего останавливали выбор на словах: трудолюбие, правосудие, ярославецъ, миролюбецъ, Миралюбовъ. Первая буква слова обозначала—1, вторая — 2, третья — 3 и т д; десятою буквою обозначался ноль. С помощью этих условных букв-цифр торговец обозначал на товарах их цену, храня в строгом секрете «ключ» к своей системе прибылей.

Если  например, выбрано было слово:          правосудие

                                                                            1234567890

то цена 4 р   75 к. обозначалась так:   в уо.

Иногда цена на товаре писалась в виде дроби, например: 

      ое

            тро

Это значит при ключе «трудолюбие», что надо запросить 1 р. 25 к., для себя же книга стоила 50 коп.

«Нумерация» в то время давно уже была в широком употреблении и понятна была каждому, даже неграмотному крестьянину. Восходит она, без сомнения, к глубокой древности и употребительна была не только у нас. Такая нумерация называется «народной».

Любопытно, что эта  народная нумерация была некогда у нас даже узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщиками податей записи в податной тетради. «Сборщик, — читаем мы в старом «Своде законов», — принимая от кого-либо из домохозяев вносимые к нему деньги, должен сам, или через писаря, записать в податной тетради против имени того домохозяина, которого числа сколько получено денег, выставляя количество принятой суммы цифрами и знаками. Знаки сии для сведения всех и каждого ввести повсеместно одинаковые, а именно:

В другом месте того же тома «Свода законов» находим еще раз упоминание об обязательном употреблении народных числовых обозначений. Приводятся особые знаки для тысячи рублей — в виде шестиконечной звезды с крестом в ней, и для ста рублей — в виде колеса с 8 спицами. Но обозначения для рубля и десяти копеек здесь устанавливаются иные, чем в предыдущем законе. Вот текст закона об этих так называемых «ясачных знаках»:

«Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен будет ясак, кроме изложения словами, было показываемо особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания *. Употребляемые в квитанции знаки означают: (звезда) тысяча рублей, (колесо) сто рублей, (квадрат) десять рублей, X один рубль, ||||| |||| десять коп., | копейку.

«Дабы не можно было сделать  здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».

Как видите, употребляемые  нами арабские и римские цифры  — не единственный способ обозначения чисел. В старину применялись у нас, и теперь кое-где по деревням применяются другие системы письменного счисления, отдаленно сходные с римскими, и совсем не сходные с арабскими цифрами.

 

Глава 2.  Счисления

 

2.1 Системы счисления

 

Как уже было сказано, в некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук, однако этот способ годился только в пределах 10. Кое-где прогресс пошел дальше: к счету приобщали и пальцы ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета. Существовало, однако, несколько отклонений от этой системы. Например, 4000 лет назад жители Древнего Вавилона использовали систему счета до 60. Следы шестидесятеричной системы в наше время сохранились в делении часа и углового градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Например, для ответа на вопрос «Сколько овец в стаде?» достаточно нарисовать или начертить группу животных. Но считать можно гораздо быстрее, применяя для обозначения чисел какие-либо символы. Египтяне для чисел до 9 использовали последовательности простых штрихов и специальный символ - для 10. Вавилоняне имели аналогичную систему, а римляне ввели новый символ при достижении 5. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических  изображений для цифр, разумеется, не принципиален. Современные изображения  цифр – простая стилизация древних  арабских цифр.      Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.