История цифр. Числа и счисление

В десятичной системе  каждая цифра несет двойную информацию: свое собственное значение и место, которое она занимает в записи числа (разряд). Такие системы счисления называются позиционными. Римскую систему счисления можно скорее назвать аддитивной, поскольку число образуется при сложении и вычитании значений специальных значков. В аддитивных системах счисления выполнять арифметические действия безнадежно – неудивительно, что такие системы не прижились.

 Вот запись из дневника одного математика:

«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился  на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 мне приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.

На первый взгляд странная биография, но только на первый. Разберемся в чем тут дело.

А все дело в том, что  отрывок написан с использованием недесятичной системы счисления, такой привычной для большинства людей. Можно легко догадаться, какую именно систему использовал автор. Секрет выдается фразой: «Спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, значит цифра 4 – наибольшая в этой системе счисления, т. е. основанием системы является 5. Немного сложнее перевести остальные числа в «родную» десятичную. Например, несложно догадаться, что одна единица третьего разряда равна 5 во второй степени, т. е. 25 (так же в десятичной системе одна единица третьего разряда равна 100, т. е. 10²). А единица второго разряда равна 5¹, третьего – 5⁰. Теперь несложно восстановить реальную биографию чудака-автора.

При желании можно  создать собственную биографию  в таком же роде. Скажем, вам 17 лет. Воспользуемся для записи возраста четвертичной системой счисления. Разделим 17 на 4:

17 : 4 = 4, остаток 1

Остаток – это и  есть число единиц первого разряда. Результат целочисленного деления  снова поделим на 4:

4 : 4 = 1, остаток 0

Теперь остаток –  число единиц второго разряда. Ну а последнее частное – единицы третьего разряда. Теперь составим из наших ответов число. Получили 101, т. е. 17₁₀=101₄.

Помеха может возникнуть вследствие того, что в некоторых  случаях не будет доставать обозначений  цифр. При изображении чисел в системах с основаниями больше 10 может явиться надобность в цифрах «десять», «одиннадцать» и т. д.

Обычно для обозначения  их применяют латинский алфавит: «десять» обозначают буквой «А», «одиннадцать» - буквой «В». Когда буквы заканчиваются, ничего не поделаешь – придется обозначать двумя, тремя буквами сразу, да еще и обводить, скажем, кружочком, чтобы было видно, что это цифра, а не двузначное число.

Нетрудно производить  арифметические действия в разных системах счисления. Только надо помнить, что переходить через разряд надо, когда цифра превышает максимально допустимую в данной системе. Легко догадаться, что для любой системы такая цифра на единицу меньше основания. Заметим, что в самой «маленькой» из систем – двоичной – выполнять разнообразные арифметические действия с точки зрения умственной нагрузки легче всего, хотя для этого понадобится много времени и бумаги (если считать столбиком). Ну а в целом это дело привычки.

2.2 Умножение и деление без приборов

Длительное время счет чисел выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек и др., а позже на специальных приборах – абаке, счетах. Только после того, как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числа палочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную доску. Цифры, изображенные на песке, легко было стирать, а на их месте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято  записывать слагаемые в столбик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сложение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее записанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

С XV века способ письменного сложения чисел принял современный вид. Привожу краткую справку о том, когда впервые появились общеупотребительные теперь знаки арифметических действий и другие математические операторы:

+  и -   в рукописях Леонардо да Винчи (1452-1519). В начале XV века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова «плюс» (по латыни Р), что означало «сложить». До этого долгое время слагаемые просто записывали друг против друга без всякого знака. Древние египтяне обозначали сложение особым знаком – рисунком шагающих ног. Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII в., а понятие «сумма» до XV века означало результат любого из четырех арифметических действий. Для обозначения вычитания в III в. до н. э. В Греции использовали перевернутую букву пси (Ш). Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой М, начальной в слове «минус». Торговцы XVI в., отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного вина (вероятно, так произошел знак -). Чтобы отличить знак минус от тире, Л.Ф.Магницкий обозначал вычитание знаком ч.

(Х) - в сочинении Утреда (1631). Для обозначения действия умножения в XVI в. В Европе употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение – «мультипликация». В конце XVIII в. большинство математиков стали употреблять для обозначения умножения точку, но допускали и употребление косого креста.

(.) и (:) - в сочинении Лейбница (1646-1716). На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком, его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление первой буквой этого слова. До знака (:) у некоторых математиков встречался знак (ч) для обозначения деления.

( ) в сочинении Фибоначчи (1202). Арабы ввели для обозначения деления черту. От арабов этот знак перенял итальянский математик Фибоначчи.

(а^{n )}   в сочинении Шюке (1484)

(=)    в сочинении Р. Рекорда (Риккорда) (1557). Сам Риккорд объяснял этот знак так: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Знак (=) стал общепризнанным благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница.

( ) и [ ] в сочинении Жерара.

Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами счисления. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела.

Принято думать, что арифметические знаки до известной степени интернациональны, что они одинаковы у всех народов европейской культуры. Это верно лишь по отношению к большинству знаков, но не ко всем. Знаки (+) и (-), знаки (х) и (:) употребляются в одинаковом смысле  и немцами, и французами, и   англичанами.   Но точка, как знак умножения, применяется не вполне тождественно разными народами.  Одни пишут 7 . 8, другие — 7 • 8, поднимая точку на середину высоты цифры. То же приходится сказать о знаке дробности, т. е. о знаке, отделяющем десятичную дробь от целого числа.   Одни пишут как мы,   4,5, другие 4.5,   третьи 4^·5, помещая точку выше  середины.   Англичане  и   американцы  совсем   опускают ноль  перед десятичной дробью,  чего  на  континенте  Европы  никто  не  делает.  В  американской  книге вы встречаете такие  обозначения, как .725 или  •725, или даже ,725 — вместо нашего 0,725.

Расчленение числа на классы обозначается также не однообразно.    В одних странах разделяют классы точками (15.000.000), в других — запятыми     (15,000,000). У  нас привился  разумный  обычай не  помещать   между классами    никакого   знака,   а   оставлять    лишь   пробел (15000000).

Поучительно проследить за тем, как меняется способ наименования одного и того же числа с переходом  от одного языка к другому.   Число 18, например, мы называем   «восемнадцать»,   т.   е.   произносим   сначала   единицы (8), потом десятки (10).  В такой же последовательности читает это число немец: achtzehn, т. е. 8-10.    Но француз   произносит   иначе:    10-8   (dix-huit).   Насколько разнообразны у разных народов способы наименования того же числа 18, показывает следующее извлечение из таблицы, составленной одним исследователем:     по-русски ....….. 8-10     по-новозеландски 11+7

                       по-немецки ..... 8-10        по-валлийски …..3+5-10

                       по-французски…10-8      по-айносски …….10 — 2 сверх 10 

                       по-армянски ...…10+8     по-коряцки …….. 3-5 сверх 10

                       по-гречески ...…. 8+10     по-литовски ...…..8 сверх 10

                       по-латыни ....….. без 2 20

Курьезно наименование для того же числа 18 у одного гренландского племени: «с другой ноги 3». При всей своей необычности это название, естественно, объясняется способом счета по пальцам рук и ног. Сходным образом объясняется карибское наименование числа 18: «все мои руки, 3, моя рука».

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — особенно последнее, «Умноженье — мое мученье, а с делением — беда», — говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей  арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения. Причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие - многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Любимым приемом проверки был так называемый «способ девятки». Этот изящный прием нередко описывается и в современных арифметических учебниках, особенно иностранных.

Проверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток  от деления суммы на какое-либо число  равен сумме остатков от деления  каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также, что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, то же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указанных свойства, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. делением на 9.

Интересно, что и наш  способ умножения не является совершенным; можно придумать еще более  быстрые и еще более надежные. Одно из таких усовершенствований увеличивает надежность выполнения умножения. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той же цифрой множителя, на которую умножают.

Преимущество подобного  расположения в том, что цифры  частных произведений, от которых  зависят первые, наиболее ответственные  цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку – меньшая.

Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения  является способ, который был употребителен  у русских крестьян. Этот прием  вообще не требует знания таблицы  умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.

2.3 Умножение и деление на счетах

Есть много полезных вещей, которые мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у  нас под руками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно ценимых вещей принадлежат и наши конторские счеты — русская народная счетная машина, представляющая собою видоизменение знаменитого «абака» или «счетной доски» наших отдаленных предков.