Оценка рискованных ценных бумаг

4. Вероятностное прогнозирование

4.1 Определение вероятностей  
   Из-за недостатка широкодоступных и недорогих страховых полисов невозможно оценить инвестицию без рассмотрения вероятности различных результатов. Аналитик должен пытаться определять вероятность каждого крупного события, способного повлиять на инвестицию. Короче говоря, он должен заниматься вероятностным прогнозированием.  
   Сама идея такого прогнозирования достаточно проста, хотя реализовать ее чрезвычайно трудно. Аналитик определяет возможность наступления каждого важного события как вероятность (probability). Если, по его мнению, шансы на то, что некое событие будет иметь место, составляют 50 на 50, то событию придают вероятность 0,50. Если ему кажется, что шансы равны 3 из 4, то вероятность составит 3/4, или 0,75 (выражаясь иначе, шансы на то, что данное событие будет иметь место, равны 3 к 1). Если аналитик уверен, что событие произойдет, то вероятность равна 1,0. Если он считает, что событие это полностью исключается, то вероятность оценивается как нулевая.  
   Разумеется, в своих оценках важно соблюдать последовательность. Если, например, рассматриваемые события являются взаимоисключающими и взаимоисчерпывающими (т.е. одно и только одно из них будет иметь место), то сумма их вероятностей должна равняться 1,0.  
   Вероятность в основе своей понятие субъективное. Под это определение попадают даже самые простые случаи. К примеру, азартный игрок, бросающий монету, может оценить вероятность того, что выпадет орел, как 0,5, основываясь на своем знании монет и наблюдениях за данной монетой в прошлом. Однако эта оценка останется субъективной, так как заключает в себе предположение, что монета - идеальная и что прошлое - надежный проводник в будущее. Аналогичные случаи возникают при анализе ценных бумаг. Относительная частота реализации различных доходностей в прошлом иногда используется в качестве оценок вероятностей таких доходностей в будущем. Ясно, что данная методика опирается на предположения, требующие специального обоснования, и в известных обстоятельствах неприемлема. Прогнозы, основанные на экстраполяции прошлых взаимосвязей, никогда не бывают всецело объективными и необязательно отдавать им предпочтение перед прогнозами, полученными более сложным путем.  
   Вероятностное прогнозирование исходит из решения взглянуть в лицо неопределенности, признать ее существование и постараться изменить ее величину. Вместо того чтобы пытаться ответить на вопросы, такие, как: "Сколько General Motors заработает в следующем году?", аналитик рассматривает несколько наиболее возможных альтернатив и вероятность каждой из них. Это придает анализу открытость, позволяя как оценщику, так и потребителю оценить их обоснованность. Настойчивое стремление выбрать для каждой оценки единственное число свидетельствует о наивности или беспечности лица, которое составляет или использует подобные прогнозы.  
   В некоторых организациях аналитики, занимающиеся точным вероятностным прогнозированием, снабжают детальными оценками вероятностей своих коллег, которым поручено сводить воедино оценки, полученные в рамках целой группы. В других организациях аналитики, составляющие точные вероятностные прогнозы, сводят свои заключения к нескольким ключевым оценкам и только после этого передают их дальше. Наконец, есть организации, где аналитики не занимаются точным вероятностным прогнозированием. Вместо этого они производят оценки, в которых обобщаются их скрытые предположения относительно вероятностей различных событий. Но как всегда дело не в форме, а в содержании.  

 4.2 Распределение вероятностей  
   Нередко удобнее изображать вероятностные прогнозы графически. Возможные исходы указываются на горизонтальной оси, а отвечающие им вероятности - на вертикальной. Примером служит рис. 3. В данном случае исходы качественно различны и могут быть занесены только на горизонтальную ось; порядок и промежутки в размещении -произвольные.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 3 
Вероятности победы на первенстве по бейсболу команды Национальной лиги или Американской лиги  

 Рисунок  4 иллюстрирует несколько иной случай. Альтернативные результаты здесь различаются количественно в отношении одной-единственной переменной величины: доходов в расчете на акцию на будущий год. В данном случае аналитик счел необходимым объединить воедино все возможности, начиная с $0,90 до $0,99, и определить вероятность того, что фактическая сумма окажется в этом диапазоне; затем повторить всю процедуру для диапазонов от $1,00 до $1,09, от $1,10 до $1,19 и других диапазонов шириной $0,10.  
 
 
 

Рисунок 4 
Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием широких диапазонов)  

 Этот  анализ, разумеется, можно было бы  провести на более детальном  уровне, с оценкой вероятности результатов в диапазонах от $0,90 до $0,94, от $0,95 до $0,99 и сходных диапазонах шириной $0,05. Еще более детальный анализ установил бы вероятность каждого возможного результата. В этом случае полос значительно прибавилось бы и каждая из них оказалась бы очень узкой, как это и показано на рис.5. Заметьте, что чем больше полос, тем меньше значения сопутствующих вероятностей.  
   В пределе получается непрерывное распределение вероятностей (continuous probability distribution). Подобная кривая фактически изображает вершины многочисленных узких полос. (Технически кривая изображает то, что происходит, когда этих полос оказывается бесчисленное множество.) Рис.6 приводит три примера такого рода кривых. Заметьте, что по вертикальной оси теперь измеряется плотность вероятности (вместо вероятности).  
   Используя непрерывные распределения вероятностей, аналитик может отказаться от точной оценки каждого результата в отдельности. Вместо этого аналитик должен прочертить кривую, которая отразит ситуацию так, как он ее видит. Относительная вероятность каждого отдельного результата (скажем, доходов в расчете на акцию $1,035) равна нулю. Однако относительная вероятность любого диапазона доходов определяется путем простого измерения площади между кривой и горизонтальной осью. Так, вероятность того, что доходы окажутся в пределах от $1,03 до $1,04, может быть установлена при измерении площади под кривой между $1,03 и $1,04, что в данном случае составит приблизительно 0,07 (т.е. 7 шансов из 100, что в следующем году доходы будут в пределах $1,03 - 1,04). Для дискретных распределений вероятностей наподобие тех, что показаны на рис.4 и 5, ранее отмечалось, что сумма вероятностей должна равняться 1,0. И тогда при непрерывном распределении вероятностей общая площадь под кривой должна составить 1,0.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 5 
Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием узких диапазонов)  

Рисунок 6 
Непрерывное распределение вероятностей  

4.3 "Дерева  событий"  
   Когда события непрерывно следуют одно за другим или в каком-то смысле взаимосвязаны, зачастую полезно описывать альтернативные варианты в виде "дерева". Примером служит рис.7.  
   Заемщик обещал по возможности выплатить $15 через год и $8 через два года. По мнению аналитика, шансы на то, что первая выплата будет действительно произведена полностью, составляют только 40 к 60. В противном случае, полагает аналитик, заемщику удастся выплатить через год только $10.  
   Что же касается двухлетнего срока, то вероятность события, на взгляд аналитика, будет зависеть от результата за первый год. Если заемщик сумеет полностью выплатить $15 по истечении первого года, тогда, по мнению аналитика, шансы на то, что заемщику удастся выполнить свое обязательство и выплатить $8 по истечении двух лет, составят лишь 1 к 9. В противном случае заемщик выплатит меньше - $6. Однако если заемщик выплатит по истечении первого года $10 и при этом даже не предвидится никакой надежды на возмещение недостающих $5, то, по мнению аналитика, шансы на то, что через два года будут выплачены обещанные $8, окажутся приблизительно равными (50 на 50). Если же этого не произойдет, то, по мнению аналитика, вместо $8 будет выплачено $4.  
   Рисунок 7 показывает также вероятность каждой из четырех возможных последовательностей, или траекторий, на "дереве событий". Например, вероятность того, что обе выплаты будут произведены полностью, составляет только 0,04, так как шансы на осуществление первой выплаты составляют всего 40 из 100, а из этих 40 лишь 1 к 10 говорит за то, что окончательный расчет будет произведен полностью. Это дает нам 4 шанса из 100 для данного исхода, вероятность которого равна 0,04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 7 
"Дерево событий"  

 4.4 Математическое ожидание  
   Нередко, будучи неуверенным относительно результата, аналитик желает (или вынужден) резюмировать ситуацию с помощью одного или двух чисел - одно указывает основную тенденцию распределения исходов, другое служит мерилом релевантного риска (relevant risk). И доход, и риск рассматриваются в последующих главах; оставшаяся же часть данной главы посвящена первой характеристике.  
   Как же можно получить одно-единственное число, которое должно охарактеризовать всю совокупность возможных результатов? Очевидно, ни один способ не покажется удовлетворительным, если альтернативные результаты различаются качественно (например, Национальная лига против Американской лиги в завоевании первенства по бейсболу). Но если результаты различаются количественно, особенно если они различаются только по одному параметру, то возникает целый ряд возможностей.  
   По-видимому, самый распространенный прием заключается в том, чтобы выбрать наиболее вероятное значение. Его называют модой (mode) распределения вероятностей (для непрерывного распределения вероятностей мода есть результат с наивысшей плотностью вероятности). Рис. 6 показывает моду каждого из распределений. Отметьте, что на рис.6(в) две моды: в данном случае для ответа на заданный вопрос нельзя использовать ни одно отдельно взятое число.  
   Вторая альтернатива - указать величину, которая с одинаковой вероятностью может оказаться как заниженной, так и завышенной. Она называется медианой (median) распределения вероятностей. Как показано на рис.6, она может существенно отличаться от моды (мод).  
   Третья альтернатива - использование математического ожидания (expected value), также известного как среднее (mean), т.е. взвешенное среднее всех возможных результатов, с использованием сопутствующих вероятностей в качестве весов. Здесь принимается в расчет вся информация, отраженная в распределении: как величина, так и вероятность реализации каждого возможного результата. Почти всякое изменение перспектив или же вероятностей инвестиции повлияет на математическое ожидание.  
   В целом ряде случаев никакой разницы между этими тремя показателями нет. Если распределение симметрично (каждая половина - зеркальное отображение другой) и унимодально (существует одно наиболее вероятное ожидание), то медиана, мода и математическое ожидание совпадают, что иллюстрирует пример на рис.6(а). Аналитик, таким образом, может мыслить в терминах, скажем, медианы, даже если искомое число - это математическое ожидание. Только в случаях, когда распределение вероятностей сильно асимметрично (см. рис.6(6)), эта процедура усложняется.  
   В тех случаях, когда указанные величины различны, можно с полным основанием предпочесть математическое ожидание. Как было отмечено ранее, оно учитывает все оценки. Есть здесь и еще одно преимущество: оценки, касающиеся перспектив ценных бумаг, служат в качестве исходных данных для создания или ревизии портфеля. Математическое ожидание доходности портфеля самым непосредственным образом связано с математическим ожиданием доходности ценных бумаг в портфеле, однако в целом ни медиана, ни мода портфеля не могут быть определены на основе аналогичных характеристик составляющих его ценных бумаг.  
   В табл. 2 приводится пример расчета математического ожидания. Аналитик пробует предсказать, как повлияет на курс двух ценных бумаг неожиданно объявленное выступление президента по телевидению. Аналитик описал ряд возможных заявлений, начиная с изменения положения на Ближнем Востоке и кончая принятием решения относительно государственного дефицита. Альтернативы, приведенные в данной таблице, были определены как взаимоисключающие и взаимоисчерпывающие (т.е. каждая возможная комбинация представлена отдельной строкой). После долгих раздумий и не без некоторого трепета аналитик оценил также вероятность каждого заявления и его конечное воздействие на цены обеих ценных бумаг. В конце концов, аналитик вычислил соответствующие параметры портфеля, включающего по одной акции каждого вида.  
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 2 
Анализ влияния на две ценные бумаги и портфель ценных бумаг  

 Математические  ожидания указаны в нижней  части табл. 2. Каждое из них  получено в результате умножения  вероятности каждого заявления на соответствующий курс и последующего суммирования. Например, ожидаемый курс бумаги А определен как [(0,10 х $40,00) + (0,20 х $42,00)+...]; ожидаемый курс бумаги В - как [(0,10 х $62,00) + + (0,20 х $65,00) +...]; а ожидаемая стоимость портфеля - как [(0,10 х $102,00) + (0,20 х х $107,00) +...]. Неудивительно, что математическое ожидание цены портфеля равняется сумме математических ожиданий курсов составляющих его ценных бумаг. Когда математические ожидания ценных бумаг складываются вместе, вы, по сути прибавляете (0,10 х $40,00 +...) к (0,10 х $62,00 +...). Ясно, что это даст вам математическое ожидание портфеля, которое равно 0,10 х ($40,00 + $62,00) +....   

 4.5 Ожидаемая доходность к погашению против обещанной  
   Если выплаты по облигации достоверно известны, то разницы между ожидаемой и обещанной доходностью к погашению нет. Однако многие облигации не соответствуют этим стандартам. В этом случае речь может идти о двух видах риска. Во-первых, эмитент может отсрочить некоторые платежи. Текущая стоимость доллара, полученного в отдаленном будущем, конечно же, меньше, чем у доллара, полученного в оговоренный срок. Следовательно, приведенная стоимость облигаций будет тем меньше, чем больше вероятность задержки платежей. Второй вид риска потенциально гораздо серьезнее. Заемщик может не выполнить своих обязательств в целом или частично по выплате процентов или же номинальной стоимости на дату погашения. Когда фирма явно неспособна выполнить такие обязательства, она становится банкротом. Тогда оставшиеся средства распределяются в судебном порядке между разными кредиторами согласно условиям, на которых осуществлена эмиссия долговых обязательств.  
   Чтобы определить ожидаемую доходность к погашению рискованного долгового обязательства, в принципе необходимо рассмотреть все возможные исходы и вероятность каждого из них в отдельности. Для пояснения этой процедуры можно воспользоваться простым примером, приведенным на рис. 7. Предположим, что рассматриваемая ценная бумага стоит $15, т.е. заемщик желает получить сегодня $15, обязуясь взамен выплатить $15 через год и $8 по истечении двух лет. Обещанная доходность к погашению - процентная ставка, которая приравнивает текущую стоимость этих выплат к $15. В данном случае это 38,51% годовых - цифра поистине внушительная.  
   Однако, по мнению аналитика, вероятность получения такой доходности к погашению составляет всего 0,04. Табл. 3 показывает возможные последовательности событий (траектории на "дереве событий"), а также вероятность реализации и доходность к погашению каждой из них. Ожидаемая доходность к погашению есть ни что иное, как взвешенное среднее этих величин с использованием вероятностей в качестве весов [например, (0,04х38,51%)+(0,36х30,62%)+(0,30х13,61%)+(0,30х-5,20%)=15,09%].  
   Ожидаемая доходность к погашению значительно меньше, чем обещанная: 15,09% против 38,51%. Для анализа инвестиции первая цифра более важна. Это немаловажный момент. Доходность к погашению при обычных вычислениях основана на обещанный выплатах, производимых в оговоренные сроки. Если существует хоть какая-то доля риска, что заемщик не выполнит свои платежные обязательства полностью и вовремя, то ожидаемая доходность к погашению будет меньше этой цифры; и чем больше риск, тем больше разница. Иллюстрацией к этому служит табл. 4, показывающая значения обещанной доходности к погашению применительно к шести группам облигаций промышленных компаний, распределенных по степеням риска крупнейшей рейтинговом службой Standard & Poor's. Хотя уровни всех шести доходностей отражают общий ypoвень процентных ставок на соответствующий момент, разница между ними главным образом обусловлена разницей в степенях риска. Если бы обещанные доходности всех облигаций были одинаковы, то ожидаемые доходности облигаций повышенного риска оказались бы меньше, чем облигаций пониженного риска, - ситуация поистине невероятная. Напротив, более рискованные облигации обещают более высокие доходности, так что их ожидаемые доходности по крайней мере не меньше, чем малорискованных облигаций.  
   Суть большинства долговых обязательств намного бы прояснилась, если бы контракты были составлены несколько иначе. В настоящий момент стандартная облигация, лишенная каких-либо отличительных признаков, "гарантирует", что заемщик будет выплачивать кредитору, скажем, $90 ежегодно в течение 20 лет, а спустя 20 лет уплатит $1000. Куда уместнее было сделать запись, в которой отмечалось бы, что заемщик обязуется выплачивать не более чем $90 ежегодно в течение 20 лет, а спустя 20 лет уплатит не более $1000.  
 
 
 
 

Таблица 3 
Обещанная доходность к погашению против ожидаемой  

Таблица 4 
Доходность облигации промышленной компании на август 1993 г.  

5. Ожидаемая доходность  за период владения

   5.1 Расчет ожидаемой доходности за период владения  
   При вычислении доходности к погашению не учитываются изменения в рыночной стоимости ценной бумаги, подлежащей погашению. Это можно понимать в том смысле, что владелец не заинтересован в продаже документа, подлежащего погашению, независимо от того, что будет с его ценой или же с положением дел самого владельца. Эти расчеты не дают возможности удовлетворительно оценить промежуточные выплаты. Если владелец бумаги не хочет расходовать начисленные проценты, он может приобрести еще несколько ценных бумаг. Но количество бумаг, которые могут быть куплены в любое время, зависит от их стоимости на данный период времени, и вот это обстоятельство никак не учитывается при расчете доходности к погашению.  
   Хотя мало кто оспаривает значимость доходности к погашению как индикатора совокупной доходности облигации, этим ее достоинства и ограничиваются. Для некоторых целей могут больше пригодиться другие характеристики. Более того, есть виды ценных бумаг, не подлежащих погашению; наиболее важным примером служат обыкновенные акции.  
   Показатель, который может быть использован применительно к любой инвестиции, - это ее доходность за период владения (holding period return). Идея заключается в том, чтобы определить период владения основным капиталом, после чего допустить, что любые выплаты, полученные за этот период, реинвестировали. Хотя подобные допущения могут варьироваться в зависимости от обстоятельств, обычно принято считать, что любая выплата, полученная по ценной бумаге (например, дивиденд по акции, купонный платеж по облигации), используется для дальнейшего приобретения ценных бумаг по текущему рыночному курсу. Такая процедура позволяет дать оценку бумаги путем сравнения ее стоимости, полученной в конце периода владения, с первоначальной стоимостью. Эта относительная стоимость (value-relative) может быть преобразована в доходность за период владения, если отнять от нее единицу:

r_hp = (стоимость на конец периода владения)/(стоимость на начало периода владения) - 1   

 Доходность  за период владения можно преобразовать  в эквивалентную доходность за  единичный период. С учетом эффекта  начисления сложного процента  соответствующая величина определяется  из соотношения: