ГОУ ВПО  «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и  информатики (филиал) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Визуализация  численных методов.

"Решение обыкновенных дифференциальных уравнений" 
 
 
 
 
 

Выполнил: студент гр. ВЕ-01

Умнова  М.А.

Проверил: Минина Е.Е. 
 
 
 
 
 
 
 

Екатеринбург 2011 

Содержание

Введение 3

1. Постановка задачи и математическая модель 4

2. Описание численных методов (применительно к конкретной задаче) 5

  2.1 Численные методы решения задачи Коши 6

  2.2 Метод Эйлера 7

  2.3 Метод Рунге – Кутта 4-го порядка 9

3. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка 12

  3.1 Решение методом Эйлера 12

  3.2 Решение методом Рунге-Кутта 13

4. Блок-схемы программы и основных подпрограмм 14

  4.1 Алгоритм функции 14

  4.2 Подпрограмма метода Эйлера 14

  4.3 Подпрограмма метода Рунге-Кутта 4 порядка 15

  4.4 Подпрограмма общего решения 16

  4.5 Блок-схема программы 17

5. Листинг программы на языке VisualBasic 21

6. Формы проекта 25

7. Решение задачи в Mahtcad 27

Заключение 28 

 

Введение

   Дифференциальным  уравнением называются уравнения, связывающие  независимую переменную, искомую  функцию и ее производные. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке  в уравнение обращает его в  тождество. Лишь очень немногие из таких  уравнений удается решить без  помощи вычислительной техники. Поэтому  численные методы решения дифференциального  уравнения играют важную роль в практике инженерных расчетов.

     Темой курсового проекта является  «Визуализация численных методов»  путём:

• написания программы на языке Visual Basic;
• проверки решения с помощью приложения MathCAD.

    В ходе выполнения курсовой работы предполагается решение дифференциального уравнения  с помощью численных методов:

• метода Эйлера или метода Рунге-Кутта 1 порядка точности;
• метода Рунге-Кутта 4 порядка точности.

    Если  искомая функция зависит от одной  переменной, то дифференциальное уравнение  называют обыкновенным; в противном  случае – дифференциальное уравнение  в частных производных. В данной курсовой работе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Актуальность  курсового проекта: в настоящее  время можно решать дифференциальные уравнения с помощью различных  приложений. Существует множество математических пакетов, например, MathCAD, Mathematica и другие, позволяющих решать дифференциальные уравнения. Не сложно решить их и в среде программирования Visual Basic, причем Visual Basic позволяет решать уравнения разными методами с требуемой точностью и представить результаты также наглядно, как и в математических пакетах.

 

1. Постановка задачи  и математическая  модель

 

    В курсовой работе необходимо двумя методами (Эйлер, Рунге-Кутта) решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка

      на отрезке [1,2] с шагом h=0,1 и начальным условием, Y₀=1, 

    Ответ должен быть получен в виде таблицы  результатов: 

         
 

    Где: Y⁽¹⁾ , Y⁽²⁾ - решения, полученные различными численными методами,

    Y^(T) – точное решение дифференциального уравнения. 

 

2. Описание численных  методов (применительно  к конкретной задаче)

 

    Суть  задачи:

    Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производных  при некоторых значениях независимой  переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной , то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли переменной выступает время.

    Задачу  Коши можно сформулировать следующим  образом: Пусть дано дифференциальное уравнение  и начальное условие . Требуется найти функцию. Удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

    Численное решение задачи Коши сводится к табулированию  искомой функции.

    График  решения дифференциального уравнения  называется интегральной кривой.  

    Геометрический  смысл задачи 

    -тангенс  угла наклона касательной  к графику решения  в точке  к оси OX- угловой коэффициент (рис.1)

    

    Существование решения:

    Если  правая часть непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенством то существует, по меньшей мере, одно решение определённое в окрестности , где h- положительное число.

    Это решение единственное, если в R  выполнено условие Липшица

    ,где N-некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая,  общем случае, от a и b. Если  имеет ограниченную производную в R, то можно положить при .

2.1 Численные методы решения задачи Коши

 

    При использовании численных методов  выполняется замена отрезка - области непрерывного изменения аргумента множеством . состоящего из конечного числа точек - сеткой.

    При этом называют узлами сетки.

    Во  многих методах используются равномерные  сетки с шагом: 

    Задача  Коши, определённая ранее на непрерывном  отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.

    

    Численное решение задачи Коши широко применяется  в различных областях науки и  техники, и число разработанных  для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены  на следующие группы.

• Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на 
  кривой у = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. 
  Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.
• Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из  предыдущих точек.   Чтобы получить достаточно точное  численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.
• Явные методы, в которых функция Ф не зависит от yn+1.

    Неявные методы, в которых функция Ф  зависит от yn+1. 

2.2 Метод Эйлера

 

    Иногда  этот метод называют методом Рунге-Кутта  первого порядка точности.

    Данный  метод одношаговый. Табулирование  функции происходит поочередно в  каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в  одном предыдущем узле.

    Пусть дано дифференциальное уравнение первого  порядка

    

    с начальным условием

    y(x0) = y0.

    Выберем шаг h и введём обозначения:

      xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

    xi – узлы сетки,

    yi- значение интегральной функции в узлах .

    Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

    Проведем  прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

    tgα  = f(xi,yi) (1).

    В соответствии с геометрическим смыслом  задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

    Тогда yi+1 = yi+Δy (2).

    Из  прямоугольного треугольника АВС  (3).

    Приравняем  правые части (1) и (3). Получим  .

    Отсюда 

    Подставим в это выражение формулу (2), а  затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной  точки интегральной функции:

          (4). 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 2 - Метод Эйлера

    Проведем  решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: A(x_i, y_i), C(x_i+h/2, y_i+h/2*f(x_i,y_i)) и B(x_i+1, y_i+1).
2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

    

3. На этой прямой найдем точку C(x_i+h/2, y_i+h/2*f(x_i,y_i)).
4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где