Системы счисления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• 3-21g
• 3-21g* — с поляризационными функциями
• 3-21+g — с диффузионными функциями
• 3-21+g* — с поляризационными и диффузионными функциями
• 6-31g
• 6-31g*
• 6-31+g*
• 6-31g (3df, 3pd)
• 6-311g
• 6-311g*
• 6-311+g*

                   6   Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в  числе. При этом система может  накладывать ограничения на положение  цифр, например, чтобы они были расположены  в порядке убывания.

 

                          7    Римские цифры 

 

 цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились  за 500 лет до нашей эры у этрусков.Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид: 1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D и 1000 - M. Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X - две такие руки. Но есть и иное объяснение. Когда счет шел десятками, то, нарисовав 9 палочек, десятой их перечеркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечеркивали одну палочку и писали десять так: . отсюда и получилась римская цифра X. А цифра 5 получилась просто разрезанием цифры для числа 10 пополам.

Спорят ученые и о происхождении  других римских цифр. Возможно, что  обозначения C и M связаны с римскими названиями сотни и тысячи. Тысячу римляне называли "милле" (слово "миля" когда-то обозначало путь в тысячу шагов).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначая числа, римляне  записывали столько цифр, чтобы их сумма давала нужное число. Например, число 7 они записывали так: VII, а число 362 так: CCCLXII. Как видите, сначала идут большие цифры, а потом поменьше. Но иногда римляне писали меньшую  цифру перед большей. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось IV (без одного пять), а число 9 - IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без одного сто). Так что, если вы увидите на старинном доме сделанную римскими цифрами надпись MDCCCXLIV, то легко определите, что он построен в 1844 году. А если на афише кинотеатра будет написано "Пираты XX века", то вы не прочтете это "Пираты ха-ха века", а поймете, что речь идет о пиратах двадцатого века. Самым большим числом, которое умели обозначать римляне, было 100000. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова "сотен тысяч" опускались. Запись означала 10 сотен тысяч, то есть миллион.

Хотя римская нумерация  была не слишком удобной, она распространилась по всей ойкумене - так называли древние  греки известный им обитаемый  мир. Когда-то римляне завоевали  многие страны и присоединили их к  своей империи. Со всех этих стран  они взимали громадные налоги и, конечно,

пользовались при этом своими обозначениями чисел. Так  что пришлось жителям этих стран  учить римскую нумерацию, посылая  все проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула  Римская империя, в деловых бумагах  Западной Европы применялась эта  неудобная нумерация.

 

                8      Египетская система счисления 

 

 непозиционная система счисления, которая употреблялась в Древнем Египте вплоть до начала X века н.э. В этой системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      

                       9    Позиционная система счислений

 

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного  числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a_nPⁿ + a_n-1Pⁿ-1 + ... + a₁P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a_-mP^-m

Позиционная система счисления  определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:^[1]

, где   — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Каждая степень  в такой записи называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как перевести целое число  из десятичной системы в любую  другую позиционную систему счисления?

 

Для перевода целого десятичного  числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

 

 

 

 

 

Достаточно часто требуется  уметь переводить число из одной  системы счисления в другую. Давайте  научимся выполнять такое действие. Преобразование целых чисел и  правильных дробей выполняется по разным правилам. В действительном числе  преобразование целой и дробной  части производят по отдельности.

Преобразование целых  чисел.

Для перевода необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления до получения целого остатка, который является младшим разрядом числа в новой системе счисления (единицы). Полученное частное снова делим на основание системы и так до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Все операции выполняются в исходной системе счисления.

 

 

 

 

 

Рассмотрим для примера  перевод числа из десятичной системы  счисления в двоичную.

Возьмём десятичное число  А₁₀ = 124 и поделим его на основание двоичной

системы, то есть число 2. Деление  будем производить уголком:

 

 

 

 

 

 

В результате первого деления  получим разряд единиц (самый младший  разряд). В результате второго деления  получим разряд двоек. Деление 

продолжаем, пока результат  деления больше двух. В конце операции преобразования мы получили двоичное число 1111100₂.

Теперь то же самое число  переведём в восьмеричную систему  счисления. Для этого число 124₁₀ разделим на число 8:

Как мы видим, остаток от первого деления равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа  содержит цифру 4. Остаток от второго  деления равен 7. то есть второй разряд восьмеричного числа – это  цифра 7. Старший разряд получился  равным 1. То есть в результате многократного  деления мы получили восьмеричное число 174₈.

Проверим, не ошиблись ли мы в процессе преобразования? Для этого  преобразуем получившееся двоичное число в десятичную систему по обычной формуле разложения: 

1×8²+7×8¹+4×8⁰=64₁₀+56₁₀+4₁₀=124

А можно ли осуществить  перевод из восьмеричной системы  счисления в двоичную делением? Можно! Но деление нужно произвести по правилам восьмеричной арифметики. Правила работы в восьмеричной системе счисления мы рассмотрим в следующей главе. Тем не менее, для полноты материала, рассмотрим пример перевода в двоичную форму полученного ранее восьмеричного числа 174₈. Разделим его на основание новой системы счисления 2.

 

Как мы убедились выполнять  деление в восьмеричной системе  очень неудобно, ведь подсознательно мы делим в десятичной системе  счисления. Давайте обратим внимание на то, что число 8 является степенью числа 2. То есть можно считать восьмеричную систему счисления просто более  короткой записью двоичного числа. Это означает, что для представления  восьмеричной цифры можно использовать три двоичных бита (8=2³). Давайте составим таблицу соответствия. Она приведена в таблице

 

 

 

 

 

     Таблица 1. Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Двоичный код	Восьмеричная цифра	Десятичный эквивалент
000	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применение теоремы о  смешанных системах счисления

Если системы с основаниями  Р и Q являются смешанными, то перевод чисел из одной такой системы счисления в другую осуществляется чрезвычайно просто. А если мы уже знаем представление каждой цифры Q-ичной системы в Р-ичной (здесь Q > Р), то перевод становится тривиальным, причем в обе стороны.

Одно из практических применений теоремы о смешанных системах счисления состоит в том, что  арифметические действия над числами, записанными в любой системе счисления, моженовыполнить в системе, смешанной с исходной, если последняя более удобна.

Например, вычисления в 100-ичной  системе заменяются на десятичную арифметику (100-ичные числа переводятся в  десятичную систему, а результат  при необходимости может быть снова записан в 100-ичной), а действия с шестнадцатеричными или восьмеричными  числами легко заменяются на двоичную арифметику (что активно используется в 

Данную теорему можно  также использовать для сокращения длины записи чисел, путем замены системы счисления с меньшим основанием, на систему с большим, но таким, чтобы эти системы являлись смешанными. Заметим,что это всегда возможно. Так, если мы имеем запись числа в Р-ичной системе, то мы можем переписать это же число в системе с основанием Q = P^m, уменьшив количество цифр в m раз (конечно, если их больше, чем m).. Например, при использовании двоичной системы счисления сами числа можно представлять в 256-ричной, сократив количество цифр в записи числа в 8 раз (256 = 2⁸).

Но и на этом применение теоремы не исчерпывается. Теорема  о смешанных системах счисления  может иногда сделать более рациональным решение задачи перевода чисел из одной системы в другую, даже если они непосредственно не являются смешанными.

Например, при переводе чисел  из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот удобно сначала переписать число в двоичном виде (двоичная система является смешанной как с восьмеричной, так и с шестнадцатеричной).

Бывает также необходимо перевести число из десятичной системы  счисления сразу в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Сначала следует определить, перевод в какую из перечисленных систем является длявас наиболее простым и удобным.

С одной стороны, перевод  в шестнадцатеричную систему  путем последовательного деления  на 16 выполняется меньшим числом действий, а, следовательно, вероятность  сделать ошибку уменьшается, однако операцию деления на 16 тривиальной  не назовешь. С другой стороны, при  переводе в